[論文レビュー] A fractional order recovery SIR model from a stochastic process

Christopher N. Angstmann, B. I. Henry+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、確率的連続時間ランダムウォーク（CTRW）プロセスから分数階SIRモデル（frSIR）を導出しており、パワー則に従う回復時間分布が、回復方程式にキャプート上での分数階微分を自然に生じさせることを示している。このモデルは極限状態において、古典的SIRモデルおよびKermack-McKendrickの年齢構造モデルに還元され、分数階の指数が0に近づくにつれてエンドミック感染レベルが上昇する。

ABSTRACT

Over the past several decades there has been a proliferation of epidemiological models with ordinary derivatives replaced by fractional derivatives in an an-hoc manner. These models may be mathematically interesting but their relevance is uncertain. Here we develop an SIR model for an epidemic, including vital dynamics, from an underlying stochastic process. We show how fractional differential operators arise naturally in these models whenever the recovery time from the disease is power law distributed. This can provide a model for a chronic disease process where individuals who are infected for a long time are unlikely to recover. The fractional order recovery model is shown to be consistent with the Kermack-McKendrick age-structured SIR model and it reduces to the Hethcote-Tudor integral equation SIR model. The derivation from a stochastic process is extended to discrete time, providing a stable numerical method for solving the model equations. We have carried out simulations of the fractional order recovery model showing convergence to equilibrium states. The number of infecteds in the endemic equilibrium state increases as the fractional order of the derivative tends to zero.

研究の動機と目的

• 分数階SIRモデルの物理的根拠に基づく導出を確立し、疫学における分数階微分の恣意的使用を是正すること。
• 回復時間がパワー則分布に従う慢性疾患の動的挙動をモデル化すること。この場合、期待回復時間が発散する。
• 分数階回復モデルが、Kermack-McKendrick や Hethcote-Tudor の積分方程式モデルといった既存のモデルと整合することを示すこと。
• 離散時間確率過程の定式化を用いて、分数階微分方程式を安定に解く数値スキームを開発すること。
• 分数階の指数が均衡挙動、特にエンドミック均衡の大きさに与える影響を調査すること。

提案手法

• 感染状態（I）における任意の待ち時間分布を考慮し、S, I, Rの各状態間を移動する指向的連続時間ランダムウォーク（CTRW）として、病気の拡散をモデル化する。
• 感染状態から回復状態への遷移の待ち時間確率密度関数を用いて、一般化された積分微分方程式をSIRモデルに対して導出する。
• パワー則尾を有する待ち時間分布（Sibuya分布）が、回復項に階数 1−α のキャプート上分数階微分を生じさせることを示す。
• 連続時間の分数階モデルと同等の離散時間確率モデルを導出し、Zスターアルゴリズムを用いて安定な数値解法を可能にする。
• ラプラス変換およびZスターフォームを用いて連続時間極限をとり、離散的定式化から分数階微分方程式を回復する。
• Zスターフォームの畳み込み定理および漸近的展開を用いて、連続極限における分数階微分項を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的動機づけを持つ確率過程から、分数階SIRモデルを恣意的ではなく導出可能か？
• RQ2 どの確率的過程が、SIRモデルの回復方程式に自然に分数階微分を生じさせるか？
• RQ3 分数階の指数 α が、このモデルにおけるエンドミック均衡の大きさにどのように影響を与えるか？
• RQ4 分数階回復モデルは、極限状態において既知の古典的モデル（例：Kermack-McKendrick や Hethcote-Tudor）に還元可能か？
• RQ5 離散時間確率的定式化から、連続時間分数階モデルに収束する安定な数値法を導出可能か？

主な発見

• 回復時間分布がパワー則に従う場合、特にSibuya分布に従う場合、SIRモデルにおいて分数階微分が自然に生じる。
• 待ち時間分布が指数分布である場合、モデルは古典的Kermack-McKendrickの年齢構造SIRモデルに還元される。
• パラメータが定数であり、待ち時間がパワー則尾を有する場合、モデルはHethcote-Tudorの積分方程式SIRモデルに還元される。
• 分数階の指数 α が0に近づくにつれて、エンドミック均衡における感染者数が増加し、これは長期的または慢性感染を示唆する。
• 離散時間確率的定式化は、連続時間分数階モデルに ∆t → 0 の極限で収束する安定な数値スキームを提供する。
• 遷移確率 r が r = µ∆t^α のようにスケーリングされる場合に限り、連続時間極限が適切に定義され、分数階微分項が有限に保たれる。