[論文レビュー] A fractional space-time optimal control problem: analysis and discretization\

Harbir Antil, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、空間に分数マクロスティック拡散（Caffarelli-Silvestre拡張を用いて）および時間にCaputo分数微分を有する放物型方程式を含む線形二次最適制御問題を研究する。空間に一次元有限要素法、時間に後退オイラー離散化を用い、制御関数を区分定数関数として離散化した完全離散スキームを提案し、収束性を証明するとともに、γ=1およびs∈(0,1)の下で最適な収束率を有する事前誤差推定を導出する。

ABSTRACT

We study a linear-quadratic optimal control problem involving a parabolic equation with fractional diffusion and Caputo fractional time derivative of orders $s \in (0,1)$ and $γ\in (0,1]$, respectively. The spatial fractional diffusion is realized as the Dirichlet-to-Neumann map for a nonuniformly elliptic operator. Thus, we consider an equivalent formulation with a quasi-stationary elliptic problem with a dynamic boundary condition as state equation. The rapid decay of the solution to this problem suggests a truncation that is suitable for numerical approximation. We consider a fully-discrete scheme: piecewise constant functions for the control and, for the state, first-degree tensor product finite elements in space and a finite difference discretization in time. We show convergence of this scheme and, for $s \in (0,1)$ and $γ= 1$, we derive a priori error estimates.

研究の動機と目的

• 空間時間分数微分を有する放物型PDEを含む線形二次最適制御問題の解析と数値解法の開発を目的とする。
• Caffarelli-Silvestre拡張を用いて、分数拡散および時間微分の非局所性を克服し、動的境界条件を伴う準定常楕円型方程式に問題を再定式化する。
• 空間に区分定数制御関数、空間に一次元有限要素法、時間に後退オイラー法を組み合わせた完全離散スキームを設計する。
• 離散スキームの収束性を確立し、状態変数、制御変数、随伴変数について事前誤差推定を導出する。
• 空間および時間の収束率に関する数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証する。

提案手法

• Caffarelli-Silvestre拡張を用いて、分数ラプラシアンを半無限円筒上でのディリクレ・トゥ・ノイマン写像に変換することで、空間時間分数最適制御問題を再定式化する。
• 拡張領域における準定常楕円型問題を用い、動的境界条件を導入することで状態方程式を表現し、標準的な有限要素法による数値的取り扱いを可能にする。
• 空間および時間に区分定数関数を用いて制御を離散化し、状態および随伴変数については空間に連続区分線形有限要素法、時間に後退オイラー法を適用する。
• 拡張解のy方向における急速な減衰に基づく切断戦略を導入し、計算上の実行可能性を確保する。
• 重み付きソボレフ空間および安定性解析を用いて、制御および状態変数の事前誤差推定を導出する。
• 剛性行列および質量行列の正確なアセンブリを用いてMATLABでスキームを実装し、投影BFGS法とArmijo線分探索を用いて最適化を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間分数微分を有する放物型最適制御問題は、数値的解法が可能となるように、どのように再定式化可能か？
• RQ2 このような問題に対して、完全離散有限要素スキームの収束性は、特に空間および時間離散化の観点からどのように振る舞うか？
• RQ3 時間微分がγ=1のCaputo微分、空間拡散がs∈(0,1)の分数マクロスティックである場合、制御および状態変数に対してどのような事前誤差推定が得られるか？
• RQ4 空間および時間の収束率は、分数パラメータsおよびγにどのように依存するか？
• RQ5 拡張次元における異方的メッシュの細分化を用いることで、提案スキームは最適収束率を回復できるか？

主な発見

• 提案された完全離散スキームは、分数空間時間最適制御問題の真の解に収束する。
• γ=1およびs∈(0,1)の下で、制御変数のL²(0,T;L²(Ω))-ノルムにおける収束率が最適な𝒪(N⁻¹/³)となることが示された。ここでNは自由度の数である。
• 状態変数の収束率は𝒪(N⁻²/³)であり、s∈(0,1)に対する理論的推定𝒪(N⁻⁽¹⁺ˢ⁾/³)と整合的であるが、このレートの完全な理論的裏付けは今後の研究に委ねられている。
• 時間方向では、制御誤差が最適なレート𝒪(𝒦⁻¹)で減少し、後退オイラー法の期待される精度順序が確認された。
• 数値実験により、s∈(0.2,0.8)の異なる値に対して、空間および時間の両方で理論的収束率が確認され、スキームの頑健性が示された。
• 拡張次元（y方向）における異方的メッシュ細分化の使用は、理論で予測された最適収束率を回復するために不可欠であることが判明した。