[論文レビュー] A framework for automated PDE-constrained optimisation

Simon W. Funke, Patrick E. Farrell|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 55被引用数 64

ひとこと要約

本論文は、FEniCS および dolfin-adjoint を用いた、偏微分方程式（PDE）制約付き最適化のための高水準で自動化されたフレームワークを提示する。ユーザーは近似数学的表記に近い形で複雑な最適化問題を指定可能であり、アルゴリズム的微分を用いて自動的に随伴方程式を導出し、解く。これにより、近似的最適効率（比 1.55）を達成し、逆問題や最適制御の迅速な解法が、最小限のユーザーコードで可能になる。

ABSTRACT

A generic framework for the solution of PDE-constrained optimisation problems based on the FEniCS system is presented. Its main features are an intuitive mathematical interface, a high degree of automation, and an efficient implementation of the generated adjoint model. The framework is based upon the extension of a domain-specific language for variational problems to cleanly express complex optimisation problems in a compact, high-level syntax. For example, optimisation problems constrained by the time-dependent Navier-Stokes equations can be written in tens of lines of code. Based on this high-level representation, the framework derives the associated adjoint equations in the same domain-specific language, and uses the FEniCS code generation technology to emit parallel optimised low-level C++ code for the solution of the forward and adjoint systems. The functional and gradient information so computed is then passed to the optimisation algorithm to update the parameter values. This approach works both for steady-state as well as transient, and for linear as well as nonlinear governing PDEs and a wide range of functionals and control parameters. We demonstrate the applicability and efficiency of this approach on classical textbook optimisation problems and advanced examples.

研究の動機と目的

• 科学計算における PDE 制約付き最適化問題を実装する際の複雑さと人的作業を低減すること。
• 定常および時間依存 PDE、線形および非線形 PDE に対して、随伴方程式の導出と解法を自動化すること。
• 高水準な数学的定式化と効率的かつ並列化された低水準 C++ コード生成の間でシームレスなインターフェースを提供すること。
• 有限差分近似を回避する自動随伴モデル生成による効率的な勾配計算を可能にすること。
• 最小限のユーザー干渉で、逆問題や最適制御を含む幅広い最適化問題をサポートすること。

提案手法

• 変分形式のためのドメイン特化言語を拡張し、数学的表記に類似したコンactで高水準な構文で最適化問題を表現する。
• dolfin-adjoint を介したテープベースのアルゴリズム的微分を用い、前方モデル実行を記録し、自動的に随伴方程式を導出する。
• FEniCS のコード生成機能を活用して、前方および随伴 PDE 解法の最適化・並列化された C++ コードを生成する。
• 関数評価と勾配は、前方テープの再実行と導出された随伴系の解法により計算される。
• 最適化アルゴリズム（例：L-BFGS-B）をフレームワークに統合し、勾配情報に基づいてパラメータを更新する。
• 一般の等式および不等式制約をサポートし、削減空間およびフル空間の定式化の両方に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限のユーザーコードで、複雑な PDE 制約付き最適化問題を、高水準で数学的に直感的なインターフェースで指定可能か？
• RQ2 テープベースのアルゴリズム的微分による自動随伴導出が、非線形かつ時間依存 PDE に対しても正しくかつ効率的に実行可能か？
• RQ3 随伴モデルの計算コストは、理論的最小値（例：ニュートン法で2反復の場合の1.5倍の前方解法）にどれほど近づけるか？
• RQ4 本フレームワークは、津波波形再構成のような挑戦的な逆問題を、高い正確性で効率的に解けるか？
• RQ5 本フレームワークは、ワンショット法や低次元モデル化といった高度な最適化技術をサポートするように一般化可能か？

主な発見

• 本フレームワークにより、PDE 制約付き最適化問題が数十行のコードで指定可能であり、数学的表記に極めて近い。
• 随伴モデルの実行時間比が前方モデルに対して 1.55 に達し、ニュートン法で2反復の場合の理論的最適値 1.5 に極めて近い。
• 北海道・南西沖津波プロファイルの再構成で、絶対誤差 3.91×10⁻⁷ cm を達成し、相対誤差は 3×10⁻⁵% 未満であった。
• 最適化は 103 回の反復（113 回の関数評価）で収束し、目的関数の減少がマシン精度以下に低下した。
• 本フレームワークは、定常状態および時間依存 PDE、線形および非線形系を含め、多様な応用分野で正常に処理可能であった。
• 本アプローチは幅広い最適化アルゴリズムと制約をサポートし、ワンショット最適化や低次元モデル化といった高度な手法の基盤を提供する。