[論文レビュー] A Framework for Forcing Constructions at Successors of Singular Cardinals

James Cummings, Mirna Džamonja+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特異な基数 κ において特異的基数仮説（SCH）が成立しないが、κ⁺ が小さな普遍的グラフ族をサポートするモデルを構成するための新しい強制法フレームワークを開発する。反復強制法とラディン強制法、ダイアモンド列を用いて、超コンパクト基数の下での相対的整合性を示す。2κ = 2κ⁺ = Θ かつ Θ の共終型が ≥κ⁺⁺ である状況ですら、κ⁺ 上のグラフの普遍的族がサイズ κ⁺⁺ で存在可能であることを証明する。

ABSTRACT

We describe a framework for proving consistency results about singular cardinals of arbitrary cofinality and their successors. This framework allows the construction of models in which the Singular Cardinals Hypothesis fails at a singular cardinal of uncountable cofinality, while its successor enjoys various combinatorial properties. As a sample application, we prove the consistency (relative to that of ZFC plus a supercompact cardinal) of there being a strong limit singular cardinal $κ$ of uncountable cofinality where SCH fails and for which there is a collection of graphs on $κ^+$ whose size is less than $2^κ$ and such that any graph on $κ^+$ embeds into one of the graphs in the collection.

研究の動機と目的

• 特異的基数の後続基数において非可算共終型を持つ反復強制法の一般的枠組みを構築すること。
• κ が特異的である場合に標準的強制反復の制限、特に κ⁺-鎖条件の崩壊を克服すること。
• 2κ > κ⁺ である状況（GCHと不整合）でも、κ⁺ 上に小さな普遍的グラフ族が存在可能であることを達成すること。
• Prikry強制法からラディン強制法への普遍的グラフに関する結果の拡張。ラディン強制法は均一性を欠き、有界部分集合を追加するため、その課題を克服すること。
• 非可算共終型を持つ特異的強極限基数 κ においてSCHの失敗を、大基数構造を保存したまま整合的であることを確立すること。

提案手法

• κ⁺-正則鎖条件の強い形を満たす強制法の <κ-サポート反復を用いた新しい反復フレームワークを導入する。
• 名前による κ⁺ の部分集合の構成を制御するため、複雑な反復スキームに代わってダイアモンド列を用いる。
• 長さのマシアス強制法の変種を用いて、グラフのラディン名を追加し、κ⁺ の最終的構造を制御可能にする。
• ラディン強制法およびその変種に特化した、反復における κ⁺-正則鎖条件の保存定理を構築する。
• 超コンパクト基数 κ の共終型を非可算正則な λ < κ に変更するが、基数を保存したままラディン強制法を適用する。
• 超コンパクト性反復とラディン拡張を組み合わせ、2κ = 2κ⁺ = Θ かつ Θ の高次の共終型を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的基数 κ が非可算共終型を持ち、SCH が失敗するが 2κ > κ⁺ である状況で、κ⁺ 上のグラフの普遍的族がサイズ κ⁺⁺ で存在可能か？
• RQ2 ラディン強制法（均一性を欠き、有界部分集合を追加する）を用いても、Prikry強制法の代わりにこのようなモデルを構成可能か？
• RQ3 κ が特異的である場合に、基数を保存し、かつ κ⁺-鎖条件を保証する強制反復フレームワークは何か？
• RQ4 ダイアモンド列を用いて、κ⁺ の部分集合の名前を制御する複雑な反復スキームを置き換える方法は何か？
• RQ5 SCH の失敗下で、κ⁺ 上に小さな普遍的グラフ族が存在するための正確な整合的強度は何か？

主な発見

• 本稿は、非可算共終型を持つ特異的強極限基数 κ において、SCH が失敗し、2κ = 2κ⁺ = Θ かつ cf(Θ) ≥κ⁺⁺ であるようなモデルの整合性を確立した。
• κ が超コンパクトで cf(κ) = λ < κ である強制拡張において、κ⁺ 上のグラフの普遍的族がサイズ κ⁺⁺ で存在することを証明した。
• フレームワークは、κ より小さいすべての基数、κ 自身、および κ より大きいすべての基数が反復を通して保存されることを保証する。
• 反復における鎖条件の維持に不可欠な、κ⁺-正則鎖条件のための新しい保存定理を構築した。
• 最終的なモデルでは、κ⁺ 上の任意のグラフが、普遍的族に属する κ⁺⁺ 個のグラフの1つに埋め込み可能である。
• SCH の失敗が特異的基数で発生するには、ミッチェル順序 o(κ) = κ⁺⁺ の可測基数が必要であるため、結果は整合的強度において最適であることが示された。