[論文レビュー] A Franks' lemma that preserves invariant manifolds

Nikolaz Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$C^1$-力学系におけるFranksの補題を拡張し、周期軌道に沿った微分の摂動が、強い安定・不安定多様体を保存する条件を示している。摂動経路がこれらの多様体の存在を維持する限り、その摂動により強い安定・不安定多様体が保存されることを示した。主な貢献は、経路に沿った同倫に基づく摂動技術であり、任意に小さな近傍内での半局所的不変多様体を保存するもので、非分割の設定におけるホモクライン構造や力学の制御を可能にする。

ABSTRACT

A well-known lemma by John Franks asserts that one obtains any perturbation of the derivative of a diffeomorphism along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation of the whole diffeomorphism on a small neighbourhood of the orbit. However, one does not control where the invariant manifolds of the orbit are, after perturbation. We show that if the perturbated derivative is obtained by an isotopy along which some strong stable/unstable manifolds of some dimensions exist, then the Franks perturbation can be done preserving the corresponding stable/unstable semi-local manifolds. This is a general perturbative tool in $C^1$-dynamics that has many consequences. We give simple examples of such consequences, for instance a generic dichotomy between dominated splitting and small stable/unstable angles inside homoclinic classes

研究の動機と目的

• 標準的な$C^1$-摂動による不変多様体の制御の欠如を是正すること。
• 微分の摂動に伴って周期軌道の強い安定・不安定多様体を保存する摂動法を開発すること。
• 分割構造が存在しない状況下で、ホモクライン接点や異次元サイクルを体系的に構成するための道具を提供すること。
• 同倫的経路に沿って微分を摂動する際、強い多様体のフラッグ全体を保存するようにFranksの補題を一般化すること。
• $C^1$-一般力学への応用、特に小さな角度や弱い分割性を示す非力学的設定における応用を可能にすること。

提案手法

• 周期軌道に沿う微分を表す行列の経路に沿った線形コセットの同倫を用いる。
• 同倫経路全体で指定された次元の強い安定・不安定方向が存在することを要請する。
• 摂動により得られる微分同相写像$g$は、周期軌道上および小さな近傍$U$の外では元の写像$f$と一致させ、軌道上で新しい微分タプルと一致させる。
• 構成により、$f$の$j$-強い安定多様体が、$j \leq i$のすべての$j$について、与えられたアニュラス$A(f,P)$上で$g$のそれと一致する。これは、$i$-強い安定方向が存在し、ある点で$i$個の最大固有値の絶対値が等しい場合に成立する。
• 摂動の$C^1$ノルムは、行列空間における同倫経路の半径に限りなく近づけることができる。
• この技術は、$C^1$-線形化および先行研究（例：補題6および命題1.5）の摂動的結果に依拠しており、不変多様体構造を保存するように適応されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Franksの補題を、周期軌道に沿った微分の$C^1$-摂動において強い安定・不安定多様体を保存するように修正可能か？
• RQ2 微分の同倫が不変多様体の半局所的構造を保存するための条件は何か？
• RQ3 どのようにして、重要な不変多様体構造を保存しながら、ホモクライン接点や異次元サイクルを体系的に構成できるか？
• RQ4 固有値の絶対値の等しさと強い部分束の存在が、摂動が不変多様体に与える影響を制御する上で果たす役割は何か？
• RQ5 この手法を、強い多様体のフラッグ全体を保存するように拡張でき、保存的・シンプレクティック的、または流れの設定に応用可能か？

主な発見

• 周期軌道に沿った微分の摂動を$C^1$-スケールで構成可能であり、$i$-強い安定方向が同倫経路全体に存在する限り、与えられたアニュラス上ですべての$j \leq i$について$j$-強い安定多様体が保存される。
• 摂動の大きさは、行列空間における同倫経路の半径に限りなく近づけることができ、歪みを最小限に抑える。
• ある時刻$t_0$で$i$個の最大安定固有値の絶対値が等しい場合、摂動によりアニュラス内での$i$-許容フラッグ全体の強い安定多様体が保存される。
• この手法により、強い分割性が存在しないホモクラインクラス内にホモクライン接点や異次元サイクルを構成可能であり、関連する不変多様体構造を保存する。
• 結果は、固有値の同倫に起因するフラッグの同倫類に一般化可能であり、半局所的力学の制御が可能になる。
• 体積保存的およびシンプレクティック的設定へは追加の技術的作業を要するが、この技術はそれらの設定へも拡張可能であり、流れに対しても適応可能である。