[論文レビュー] A Free Boundary Problem for a Predator-prey Model with Double Free Boundaries

Mingxin Wang, Jingfu Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、1次元の生息環境における捕食者種の拡大境界を表す二重の自由境界を有する捕食者-被捕食者モデルを研究する。反応拡散系にステファノ型の移動境界条件を適用することで、捕食者が無限に広がり正の平衡に安定化する（拡散）か、定着に失敗して消滅する（消滅）かの二択の二分法が確立される。その条件は捕食効率や初期生息域の大きさなどのモデルパラメータに依存する明確な基準によって決まる。

ABSTRACT

In this paper we investigate a free boundary problem for a predator-prey model with double free boundaries in one space dimension. This system models the expanding of an invasive or new predator species in which the free boundaries represent expanding fronts of the predator species and are described by Stefan-like condition. We prove a spreading-vanishing dichotomy for this model, namely the predator species either successfully spreads to infinity as $t o \infty$ at both fronts and survives in the new environment, or it fails to establish and dies out in the long run while the prey species stabilizes at a positive equilibrium state. The long time behavior of solution and criteria for spreading and vanishing are also obtained.

研究の動機と目的

• 自由境界問題を用いて、新しい生息環境に侵入する捕食者種の空間的拡大をモデル化すること。
• 人口圧力によって駆動される移動境界のもとでの捕食者および被捕食者個体群の長期的動態を理解すること。
• 捕食者の拡散-消滅の二分法を確立し、それが成功して侵入するか、それとも最終的に絶滅するかを決定すること。
• 捕食速度、拡散、初期生息域の大きさなどのモデルパラメータに基づいた、拡散および消滅の明示的基準を導出すること。

提案手法

• 左および右の拡大フロントを表す二重の自由境界 $g(t)$ と $h(t)$ を有する捕食者-被捕食者相互作用の反応拡散系を定式化する。
• 捕食者個体群勾配によって駆動される境界の移動をモデル化するため、ステファノ型の条件 $g'(t) = -\mu u_x(t,g(t))$ および $h'(t) = -\mu u_x(t,h(t))$ を課す。
• 比較原理および上界・下界解を用いて、移動領域における解の長期的挙動を分析する。
• 放物型方程式の自由境界理論を適用し、すべての $t > 0$ に対して解の存在、一意性、正則性を証明する。
• 大域的な領域における漸近的解析および解の極限挙動を用いて、拡散-消滅の二分法を導出する。
• 補助的な楕円型問題および収束結果を用いて、長期的な個体群レベルおよび境界のダイナミクスを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 捕食者種が新しい環境に成功して拡散し、存続する条件は何か？
• RQ2 初期導入があっても、捕食者個体群が時間とともに消滅する要因は何か？
• RQ3 移動境界 $g(t)$ および $h(t)$ はどのように変化するのか？ その漸近的挙動を決定づける要因は何か？
• RQ4 拡散または消滅のシナリオ下での捕食者および被捕食者の長期的平衡個体群レベルは何か？
• RQ5 捕食効率 $c$、拡散 $D$、初期生息域の大きさ $h_0$ などのパラメータが侵入の結果に与える影響は何か？

主な発見

• 拡散-消滅の二分法が成立する：$h(t) \to \infty$ かつ $g(t) \to -\infty$（拡散）または $h(t) - g(t) \to h_\infty - g_\infty \leq \pi \sqrt{1/(1+ab)}$（消滅）。
• 拡散の場合、$b > c$ かつ $ac < 1$ ならば、$t \to \infty$ のとき $u(t,x) \to a/b$ および $v(t,x) \to b$ となる。$b \leq c$ ならば、$u(t,x) \to 1$ および $v(t,x) \to 0$ となる。
• 消滅の場合、$\|u(t,x)\|_{C[g(t),h(t)]} \to 0$ かつ $v(t,x) \to b$ となる。$t \to \infty$ のとき。
• 捕食者の拡散速度は漸近的に線形である：$t \to \infty$ のとき $h(t) \sim k_0 t$ を満たす $k_0 > 0$ が存在する。
• 拡散または消滅の基準は、初期生息域の大きさ $h_0$、捕食速度 $c$、パラメータ $a$、$b$、$c$、$D$、および $\mu$ に依存する。
• 長期的挙動は、捕食者の拡散、被捕食者の成長、捕食強度の間の相互作用によって決定され、モデルパラメータから明示的な閾値が導出される。