[論文レビュー] A fully discrete Calderon Calculus for two dimensional time harmonic waves

Sijiang L. Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ステアガードグリッド、源密度のディラックデルタ分布、および双極子近似のための区分定数関数を用いて、2次元定常状態ヘルムホルツ方程式の完全離散的カルデロン計算を導入する。得られるスキームは、連続問題が適切に定義されている場合に、2次精度（O(h²)）を達成する。数値実験により検証された。

ABSTRACT

In this paper, we present a fully discretized Calderon Calculus for the two dimensional Helmholtz equation. This full discretization can be understood as highly non-conforming Petrov-Galerkin methods, based on two staggered grids of mesh size h, Dirac delta distri- butions substituting acoustic charge densities and piecewise constant functions for approxi- mating acoustic dipole densities. The resulting numerical schemes from this calculus are all of order h 2 provided that the continuous equations are well posed. We finish by presenting some numerical experiments illustrating the performance of this discrete calculus.

研究の動機と目的

• 2次元定常状態ヘルムホルツ方程式のカルデロン計算の完全離散的定式化を開発すること。
• カルデロン計算の構造を保つ形で境界積分作用素を離散化する課題に取り組むこと。
• 連続問題が適切に定義されている場合に、高次精度（O(h²)）の離散スキームを保証すること。
• 2次元における境界積分方程式を用いた散乱問題を効果的に解くための堅牢な数値フレームワークを提供すること。

提案手法

• 本手法は、メッシュサイズhを用いた2つのステアガードカルテシアングリッドを用いて問題を離散化する。
• 音響電荷密度は、一方のグリッド上に配置されたディラックデルタ分布を用いて表現される。
• 音響双極子密度は、もう一方のステアガードグリッド上での区分定数関数を用いて近似される。
• アプローチは、安定性と整合性を保証する高次非適合ペトロフ・ガレルキン法として定式化される。
• 離散的カルデロン計算は、これらの離散的密度を適切な積分作用素と組み合わせることで構築される。
• 得られるスキームは、連続的カルデロン計算の構造を保ちつつ、完全な離散化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的カルデロン計算の数学的構造を保ちつつ、2次元ヘルムホルツ方程式に対して完全離散的カルデロン計算を構築できるか？
• RQ2 連続問題が適切に定義されている場合に、得られる離散スキームの収束速度はいかなるものか？
• RQ3 ステアガードグリッドと非適合関数空間は、数値解の安定性と精度にどのように影響するか？
• RQ4 ディラックデルタ分布と区分定数関数を用いた双極子近似により、離散的微積分を効果的に実装できるか？

主な発見

• 提案された完全離散的カルデロン計算は、連続ヘルムホルツ問題が適切に定義されている限り、2次精度を達成し、誤差がO(h²)で有界である。
• ステアガードグリッドと非適合関数空間の使用により、境界積分作用素の安定的かつ整合的な離散化が可能になる。
• 本手法は、離散的状況においてもカルデロン計算の数学的構造を保ち、連続理論と整合性を持つ。
• 数値実験により理論的収束速度が確認され、散乱問題に対するスキームの堅牢性が示された。