[論文レビュー] A Function in the Number Theory

Florentín Smarandache|ArXiv.org|May 8, 2004

Advanced Mathematical Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、n が m! で割り切れるような最小の整数 m として定義される、Smarandache 関数 η(n) を導入する。この関数は素因数分解と剰余算術を用いて構築され、n を割り切る最小の階乗を決定するための体系的な手法を提供する。主な結果として、η(n) は n を割り切るすべての素因数のべきの ηₚ(n) の最大値として計算可能であることが示され、任意の与えられた整数 n に対して、それを割り切る最小の階乗を決定するための有効な手法が得られる。

ABSTRACT

In this paper one constructs a function $η$ with the property that if $n$ is non-null then $η(n)$ is the smallest integer such that $η(n)!$ is divisible by $n$. In order to calculate it one considers, for each prime $p$, the associated function $η_{p}(n)$ in a power base.

研究の動機と目的

• n が m! で割り切れるような最小の正の整数 m を返す関数 η(n) を定義すること。
• 素因数分解と関連する補助関数 ηₚ(n) を用いて、η(n) を計算する手法を確立すること。
• すべての正の整数 n に対して η(n) の挙動を分析すること。
• 素因数分解と剰余制約に基づいた、η(n) を決定する構成的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• η(n) を、n が m! を割り切るような最小の正の整数 m として定義する。
• 各素数 p に対して、p^k が n を割り切る最大のべきとするとき、ηₚ(n) を、p^k が m! を割り切るような最小の m として定義する。
• 各素因数のべきについて、m! における素数 p の指数を求める公式を用いて、割り切れる条件を満たす最小の m を特定する。
• n を割り切るすべての素数 p についての ηₚ(n) の最大値として、η(n) を計算する。
• Legendre の公式を適用して、階乗における素数の指数を計算する：v_p(m!) = ∑_{i≥1} ⌊m/p^i⌋。
• n が η(n)! を割り切ることを保証するため、η(n) = max{ηₚ(n) | p は素数、p^k || n} を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた正の整数 n に対して、n が m! で割り切れるような最小の整数 m は何か？
• RQ2 n の素因数分解を用いて、η(n) をどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 η(n) と n の素因数のべき成分との間にどのような関係があるか？
• RQ4 すべての n を割り切る素数 p について、v_p(m!) ≥ v_p(n) を満たす最小の m を用いて、η(n) を関数として表現できるか？
• RQ5 η(n) は、さまざまな整数のクラスにおいてどのような構造的性質を示すか？

主な発見

• Smarandache 関数 η(n) はすべての正の整数 n に対して正しく定義されており、n が m! を割り切るような最小の m を返す。
• n を割り切る各素因数のべき p^k に対して、ηₚ(n) は、m! における p の指数が少なくとも k 以上になるような最小の m である。
• η(n) の値は、n を割り切るすべての素因数のべき p^k についての ηₚ(n) の最大値によって決定される。
• Legendre の公式を用いて v_p(m!) を計算することで、η(n) をアルゴリズム的に計算可能である。
• この構成により、η(n)! が n で割り切れることが保証され、それより小さい階乗ではその性質を満たさない。
• 関数 η(n) は、特に関与する最大の素因数のべきに依存する非自明な依存関係を示す。