[論文レビュー] A functional central limit theorem for branching random walks, almost sure weak convergence, and applications to random trees

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分岐ランダムウォークに対して関数的中心極定理を確立し、条件付き分布が確率的変動を伴うガウス解析関数にほとんど確実に弱収束することを証明する。この結果を用いて、ランダム木における経路長の中心極定理を導出し、ネインィンガーの二分探索木に関する結果を弱収束からほとんど確実な弱収束に置き換えることで強化するとともに、均一なランダム再帰的木へと拡張する。

ABSTRACT

Let $W_{\\infty}(\\beta)$ be the limit of the Biggins martingale $W_n(\\beta)$ associated to a supercritical branching random walk with mean number of offspring $m$. We prove a functional central limit theorem stating that as $n\ o\\infty$ the process $$ D_n(u):= m^{\\frac 12 n} \\left(W_{\\infty}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) - W_{n}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) \ ight) $$ converges weakly, on a suitable space of analytic functions, to a Gaussian random analytic function with random variance. Using this result we prove central limit theorems for the total path length of random trees. In the setting of binary search trees, we recover a recent result of R. Neininger [Refined Quicksort Asymptotics, Rand. Struct. and Alg., to appear], but we also prove a similar theorem for uniform random recursive trees. Moreover, we replace weak convergence in Neininger's theorem by the almost sure weak (a.s.w.) convergence of probability transition kernels. In the case of binary search trees, our result states that $$ L\\left\\{\\sqrt{\\frac{n}{2\\log n}} \\left(EPL_{\\infty} - \\frac{EPL_n-2n\\log n}{n}\ ight)\\Bigg | G_{n}\ ight\\} \ o \\{\\omega\\mapsto N_{0,1}\\}, \\quad \ ext{a.s.w.},$$ where $EPL_n$ is the external path length of a binary search tree $X_n$ with $n$ vertices, $EPL_{\\infty}$ is the limit of the R\\'egnier martingale, and $L(\\,\\cdot\\, |G_n)$ denotes the conditional distribution w.r.t. the $\\sigma$-algebra $G_n$ generated by $X_1,\\ldots,X_n$. A.s.w. convergence is stronger than weak and even stable convergence. We prove several basic properties of the a.s.w. convergence and study a number of further examples in which the a.s.w. convergence appears naturally. These include the classical central limit theorem for Galton-Watson processes and the P\\'olya urn.

研究の動機と目的

• 超臨界分岐ランダムウォークにおけるビギンスマルティンググの関数的中心極定理を確立すること。
• 弱収束および安定収束よりも強い、条件付き遷移核のほとんど確実な弱収束のための枠組みを構築すること。
• 関数的CLTを用いて、ランダム二分探索木および均一ランダム再帰的木における全経路長の第二階漸近的性質を導出すること。
• ネインィンガーの最近の二分探索木に関する中心極定理を、弱収束からほとんど確実な弱収束に置き換えることで精緻化すること。
• 正規化された経路長差の極限分布が、木の履歴を条件とする下で、標準正規分布にほとんど確実に弱収束することを証明すること。

提案手法

• プロセス $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ に対して関数的中心極定理を導出し、確率的変動を伴うガウス解析関数への弱収束を示すこと。
• $ D_n(u) $ の収束を用いて、ランダム木における経路長関数への条件付き分布のほとんど確実な弱収束を確立すること。
• ヤール過程およびポアソン点過程に対して繰り返し対数法則を適用し、$ n $ 番目の粒子が誕生する時刻 $ T_n $ の精密な漸近的性質を取得すること。
• 正規化された経路長差を三つの項に分解し、二つの項がほとんど確実に消えること、残りの一つが関数的CLTにより収束することを示すこと。
• 積確率空間と条件付き独立性を活用し、$ \mathcal{F}_{T_n} $ からの条件付けを木過程の履歴 $ \mathcal{G}_n $ に簡略化すること。
• 命題4.10および命題4.12を用いて、積空間からの収束を元の確率空間に移し、ほとんど確実な弱収束を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビギンスマルティングの極限とその有限時間近似との差が、関数的中心極定理を満たすか。
• RQ2 ランダム木における経路長関数への条件付き分布のほとんど確実な弱収束を確立できるか。
• RQ3 二分探索木における外部経路長の中心極定理は、弱収束よりも強い収束のもとで成立するか。
• RQ4 正規化された経路長フラクチュエーションの極限分布は、標準正規分布にほとんど確実に弱収束するか。
• RQ5 分岐ランダムウォークにおける関数的CLTを拡張し、ランダム再帰的木の第二階漸近的性質を導出できるか。

主な発見

• プロセス $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ は、適切な解析関数空間上で、確率的変動を伴うガウス解析関数に弱収束する。
• 二分探索木では、条件付き分布 $ \mathcal{L}\left\{ \sqrt{\frac{n}{2\log n}} \left( \text{EPL}_\infty - \frac{\text{EPL}_n - 2n\log n}{n} \right) \Big| \mathcal{G}_n \right\} $ が、標準正規分布にほとんど確実に弱収束する。
• 収束は弱収束および安定収束よりも強く、ランダム木の文脈において遷移核のほとんど確実な弱収束を確立する。
• この結果は均一ランダム再帰的木へも拡張され、ほとんど確実な弱収束を伴う同様の中心極定理が証明される。
• 証明は、$ T_n $、すなわち$ n $ 番目の粒子の誕生時刻の精密な漸近的性質に依存しており、ポアソン過程およびヤール過程における繰り返し対数法則を用いて取得される。
• 正規化された経路長差を三つの項に分解することで、二つの項がほとんど確実に消えることが示され、残りの一つが関数的CLTにより収束し、最終的な収束結果が得られる。