[論文レビュー] A functional limit convergence towards brownian excursion

Julien Sohier|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正規分布の吸引域に属する確率ウォークが、非負に保たれかつ原点付近に戻ることを条件付けた場合、適切なスケーリングのもとで弱収束し、その極限が正規化されたブラウン運動のエクスカージョンに一致することを示す機能的極限定理を確立している。収束は、有限次元分布の収束とトータルネスを用いて証明されており、再生理論と条件付き確率のh変換を応用している。

ABSTRACT

We consider a random walk $S$ in the domain of attraction of a standard normal law $Z$, extit{ie} there exists a positive sequence $a_n$ such that $S_n/a_n$ converges in law towards $Z$. The main result of this note is that the rescaled process $(S_{\lfloor nt floor}/a_n, t \geq 0)$ conditioned to stay non-negative, to start and to come back extit{near the origin} converges in law towards the normalized brownian excursion.

研究の動機と目的

• 正規分布の吸引域に属する確率ウォークが、非負に保たれかつ原点付近に戻ることを条件付けた場合の機能的極限定理を確立すること。
• 遅い戻りを条件付けた場合に、ブラウンのミアンダーへの収束を拡張すること。
• スケーリングされた条件付き過程が、法則的に正規化されたブラウン運動のエクスカージョンに収束することを示すこと。
• 一般の吸引域条件のもとで、トータルネスと有限次元収束を用いた厳密な証明を提供すること。

提案手法

• 降下ラッダーヘイツに関連する再生関数 $ V(x) $ を用いて、非負に保たれるように条件付けた確率ウォークの法則をh変換で定義する。
• 弱収束を調べるために、$ D([0,1], \mathbb{R}) $ 上のスコロホド位相を用いる。
• 関数中心極限定理の枠組みを用い、$ a_n^2 \sim n \Phi(a_n) $ を満たす $ a_n $ を用いて、確率ウォーク $ S_{\lfloor nt \rfloor}/a_n $ をスケーリングする。
• 再生過程の強い形のイグルハートの補題を用いて、モーメントの有界性と振動の制御によりトータルネスを確立する。
• 再生理論から導かれる漸近的同等性 $ \mathbf{P}_{x_n}[\tau_{(-\infty,0)}>n] / \mathbf{P}[T_1^- > n] \sim V(x_n) $ を、$ x_n / a_n \to 0 $ のもとで一様に得る。
• 局所極限定理とラッダーヘイツ密度に関する一様推定を用いて、収束のための条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規分布の吸引域に属する確率ウォークが、非負に保たれかつ原点付近に戻ることを条件付けた場合、ブラウン運動のエクスカージョンに収束するか？
• RQ2 関数的意味での収束、すなわち $ D([0,1], \mathbb{R}) $ 上のスコロホド位相で収束は成立するか？
• RQ3 初期位置 $ x_n $ および終了位置 $ y_n $ にどのような条件を課すと、ブラウン運動のエクスカージョンに収束するか？
• RQ4 ラッダープロセスの再生構造は、条件付きウォークの漸近的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 初期位置 $ x_n $ から出発し、終点 $ y_n $ で終わらせ、かつ非負に保たれるように条件付けたスケーリング過程 $ (S_{\lfloor nt \rfloor}^*)/a_n $ は、$ n \to \infty $ のとき、正規化されたブラウン運動のエクスカージョンに法則的に収束する。
• 収束は $ x_n / a_n \to 0 $ および $ y_n / a_n \to 0 $ の条件下で成立し、初期および終了位置がスケーリングに対して相対的に消えることを保証する。
• 証明では、有限次元収束とトータルネスを確立しており、後者は振動の指数的尾部バウンドに依存している。
• 漸近的同等性 $ \mathbf{P}_{x_n}[\tau_{(-\infty,0)}>n] / \mathbf{P}[T_1^- > n] \sim V(x_n) $ は、$ x_n / a_n \to 0 $ のもとで一様に成立し、これはh変換の近似において中心的な役割を果たす。
• 遅い戻りを条件付けた場合に、ブラウンのミアンダーへの収束を拡張した結果であり、より強い条件付け（遅い戻り）によりエクスカージョンの極限が得られる。