[論文レビュー] A functional limit theorem for limit order books

Christian Bayer, Ulrich Horst+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、高頻度スケーリング下での指値注文簿（LOB）に対して機能的極限定理を確立し、注文の到着レートが増加し、個々の注文のインパクトが小さくなる際、最良買付・売付価格および注文数量密度の連合動的挙動が、反射ブラウン運動と2つの結合された線形確率偏微分方程式（SPDE）によって駆動される系に収束することを示している。主な貢献は、厳密な数学的裏付けをもって、微小構造を捉えた連続時間極限モデルを提供することにある。

ABSTRACT

We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges to a continuous-time limit when the order arrival rates tend to infinity, the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tend to zero. The limits of the standing buy and sell volume densities are described by two linear stochastic partial differential equations, which are coupled with a two-dimensional reflected Brownian motion that is the limit of the best bid and ask price processes.

研究の動機と目的

• 離散的な価格レベルと買い・売り注文の数量密度を備えた確率過程としてLOBを形式化し、最良買付・売付価格および数量密度の連合動的挙動を確率的枠組みでモデル化すること。
• 注文の到着レートが非常に大きくなり、個々の注文インパクトが0に近づく際のLOBの漸近的挙動を調査すること。
• 価格の動きと数量密度の進化の両方を捉える連続時間極限をLOBに対して導出すること。
• 離散的で高頻度のLOBの動的挙動と連続的SPDE系との間の厳密な数学的関係を確立すること。
• 反射ブラウン運動によって駆動される2つの結合されたSPDEとして、LOBの極限挙動を特徴づけること。

提案手法

• 買い注文および売り注文のための離散的価格レベルと数量密度を備えた確率過程としてLOBを形式化すること。
• 注文の到着強度が無限大に近づき、刻み幅（tick size）が0に近づき、個々の注文インパクトが消失するスケーリング則を導入すること。
• スケーリングされたLOB過程の弱収束を導くために、機能的中心極限定理の技法を適用すること。
• 最良買付・売付価格過程の極限が2次元の反射ブラウン運動であることを示すこと。
• 残存数量密度過程の極限が、反射ブラウン運動によって駆動される2つの線形SPDEの解として得られることを導出すること。
• SPDEと反射ブラウン運動との間の結合関係を確立し、全連合極限動的挙動を記述すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 注文の到着レートが非常に大きく、個々の注文インパクトが消滅する際、指値注文簿の連続時間極限は何か？
• RQ2 残存買い・売り数量密度は極限でどのように変化するか？ その動的挙動を記述する確率的方程式の種類は何か？
• RQ3 高頻度スケーリング下で、最良買付・売付価格過程の極限挙動は何か？
• RQ4 極限において、価格過程と数量密度過程はどのように結合されているか？
• RQ5 LOBの連合動的挙動は、連続極限においてSPDE系と反射拡散過程によって記述可能か？

主な発見

• 最良買付・売付価格過程の極限は、2次元の反射ブラウン運動であり、取引所の価格レジリエンスと境界挙動を捉えている。
• 残存買い・売り数量密度過程は、2つの線形確率偏微分方程式（SPDE）の解に収束する。
• SPDEは、価格過程を支配する同一の2次元反射ブラウン運動によって駆動されており、これにより結合された極限系が確立される。
• 注文の到着レートが無限大に近づき、刻み幅が0に近づき、個々の注文インパクトが消滅する特定のスケーリング則の下で収束が成立する。
• 極限モデルは、価格インパクトや数量レジリエンスといった重要な市場微小構造的特徴を保持する連続時間近似を提供する。
• 機能的極限定理により、SPDEと反射拡散過程が高頻度LOB動的挙動の扱いやすく現実的であるモデルとしての使用を厳密に裏付けている。