[論文レビュー] A Functional Limit Theorem for Limit Order Books with State Dependent Price Dynamics

Christian Bayer, Ulrich Horst+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Economic theories and models参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、状態依存価格ダイナミクスを有する限界注文集積書のための関数的極限定理を確立し、注文到着レートが増加し、個々の注文インパクトが縮小する際、最良買付・売却価格および注文数量密度の連合ダイナミクスが、確率的微分方程式（SDE）と確率的偏微分方程式（SPDE）の結合系に収束することを示している。主な貢献は、連続時間かつ無限次元の枠組みにおいて、残高数量が価格変動に与えるフィードバックを捉えた、厳密なスケーリング極限の確立である。

ABSTRACT

We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). Our model is flexible enough to allow for a dependence of the price dynamics on volumes. For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges in distribution to a fully coupled SDE-SPDE system when the order arrival rates tend to infinity and the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tends to zero. The SDE describes the bid/ask price dynamics while the SPDE describes the volume dynamics.

研究の動機と目的

• 状態依存価格インパクトの下で、限界注文集積書の価格と数量の連合ダイナミクスを確率論的枠組みでモデル化すること。
• 価格と数量ダイナミクスを含む完全な限界注文集積書に対する関数的中心極限定理を確立すること。
• 実証的に観察されるが、従来のモデルではしばしば無視されがちな、数量依存価格ダイナミクスを組み込むことで、既存のスケーリング極限を拡張すること。
• 過負荷スケーリング下で、分布収束として完全に結合されたSDE-SPDE系への収束を厳密に証明すること。
• 注文集積書の状態から価格形成へのフィードバックを含む、市場マイクロ構造をモデル化するための数学的に整合性のある基盤を提供すること。

提案手法

• 注文到着およびキャンセルが現在の最良買付・売却価格に依存する、連続時間かつ無限次元のシステムとして限界注文集積書をモデル化する。
• 注文到着レートが無限大に近づき、個々の注文インパクトとティックサイズが0に近づく過負荷スケーリングを適用する。
• 分布空間におけるミトマの定理およびタイトネス基準を用いて、スケーリングされた過程の弱収束を確立する。
• 極限ダイナミクスを、最良買付・売却価格のためのSDEと、数量密度関数のためのSPDEからなる結合系として特徴付ける。
• 時間変換付き弱収束およびスコロホドの補題を用いて、確率的時間変更を伴う過程の収束を扱う。
• 確率論における関数的極限定理の技術を活用し、分布的意味で価格および数量過程の連合収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価格形成が残高数量に依存する場合、過負荷スケーリング下で限界注文集積書の価格と数量の連合ダイナミクスはどのように振る舞うか？
• RQ2 定数または外生的価格過程を仮定するのではなく、状態依存価格ダイナミクスを持つ二方向限界注文集積書に対して、関数的極限定理を確立できるか？
• RQ3 スケーリングされた限界注文集積書過程の収束を記述する極限系は何か？ そして、数学的にどのように特徴付けられるか？
• RQ4 数量密度から価格ダイナミクスへのフィードバックは拡散極限でも存続するか？ もしそうなら、極限系にどのように組み込まれているか？
• RQ5 スケーリングされた限界注文集積書過程の列が、分布収束として結合SDE-SPDE系に収束するための条件は何か？

主な発見

• 最良買付・売却価格および数量密度関数の連合ダイナミクスは、分布収束として完全に結合された確率的微分方程式（SDE）と確率的偏微分方程式（SPDE）の系に収束する。
• 極限価格過程は、現在の数量密度に依存するドリフトおよび拡散係数を持つSDEによって支配され、状態依存価格インパクトを捉えている。
• 数量ダイナミクスは、注文フローと同じ基本的なポアソン過程によって駆動される、連続時間におけるSPDEで記述される。
• 収束は、個々の注文インパクトおよびティックサイズが消えていくが、注文到着レートが発散する過負荷スケーリング下で確立される。
• 極限系は分布的空間で適切に定義されており、ミトマの定理やC-タイトネス基準などの関数解析的道具を用いてタイトネスが証明されている。
• 本結果は、注文集積書の状態から価格ダイナミクスへのフィードバックを組み込むことで、従来のスケーリング極限を一般化しており、数量不均衡効果の実証的観察と整合している。