[論文レビュー] A functional limit theorem for locally perturbed random walks

Alexander Iksanov, Andrey Pilipenko|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、局所的に摂動されたランダムウォークに対する関数的極限定理を確立し、一般の跳躍分布のもとで弱収束がスケュー・ブラウン運動に一致することを証明する。主な貢献は、マーティングールに基づく新規なアプローチであり、スケューのパラメータ $ olimits\gamma = \mathbb{E}_{\pi}[X(1) - X(\alpha_1)] / \mathbb{E}_{\pi}|X(1) - X(\alpha_1)|$ の明示的公式を導出することであり、単位跳躍に限定された先行研究を拡張する。

ABSTRACT

A particle moves randomly over the integer points of the real line. Jumps of the particle outside the membrane (a fixed "locally perturbating set") are i.i.d., have zero mean and finite variance, whereas jumps of the particle from the membrane have other distributions with finite means which may be different for different points of the membrane; furthermore, these jumps are mutually independent and independent of the jumps outside the membrane. Assuming that the particle cannot jump over the membrane we prove that the weak scaling limit of the particle position is a skew Brownian motion with parameter $γ\in [-1,1]$. The path of a skew Brownian motion is obtained by taking each excursion of a reflected Brownian motion, independently of the others, positive with probability $2^{-1}(1+γ)$ and negative with probability $2^{-1}(1-γ)$. To prove the weak convergence result we offer a new approach which is based on the martingale characterization of a skew Brownian motion. Among others, this enables us to provide the explicit formula for the parameter $γ$. In the previous articles the explicit formulae for the parameter have only been obtained under the assumption that outside the membrane the particle performs unit jumps.

研究の動機と目的

• 一般の跳躍分布のもとで、局所的に摂動されたランダムウォークがスケュー・ブラウン運動に弱収束することを確立すること。
• 従来の手法に制限を受けることなく、マーティングール特徴付けに基づく新しい証明技法を提供すること。
• 定常分布と跳躍モーメントの観点から、スケューのパラメータ $\gamma$ の明示的公式を導出すること。
• 単位跳躍または特定の分布を仮定する必要があった先行研究を一般化すること。
• 膜外の任意の有限分散 i.i.d. 跳躍と膜内の任意の有限平均跳躍を含む場合に、関数的極限定理を拡張すること。

提案手法

• 状態依存の跳躍を持つマルコフ連鎖 $X(n)$ を定義：有限集合 $A = \{-m, \dots, m\}$ の外では i.i.d. 跳躍、$A$ 内では異なる i.i.d. 跳躍。
• 戻りの位置を追跡する埋め込みマルコフ連鎖 $Y(k) = X(\alpha_k)$ を導入し、その定常分布 $\pi$ を用いる。
• スケュー・ブラウン運動のマーティングール特徴付けを適用して、スケーリング過程 $X_n(t) = X([nt]) / \sqrt{n}$ の弱収束を証明する。
• マーティングール増分の一様可積分性とモーメントバウンドを用いて、一様有界性と有限次元分布の収束を確立する。
• 再生過程の強大数法則を用いて、局所時間および跳躍寄与の漸近的挙動を分析する。
• パス分解と定常性を用いて、$\gamma = \mathbb{E}_{\pi}[X(1) - X(\alpha_1)] / \mathbb{E}_{\pi}|X(1) - X(\alpha_1)|$ の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限集合外の跳躍が平均0かつ有限分散をもつ i.i.d. であるとき、局所的に摂動されたランダムウォークの弱極限は何か？
• RQ2 有限膜内での状態依存的跳躍がスケーリング極限にどのように影響を与えるか？
• RQ3 極限のスケュー・ブラウン運動のスケューのパラメータ $\gamma$ は、跳躍分布と定常測度の観点から明示的に計算可能か？
• RQ4 マーティングールに基づくアプローチは、有界または二点跳躍を仮定しない収束証明を可能にするか？
• RQ5 極限過程が標準ブラウン運動のままであるのはどのような条件下か？

主な発見

• 局所的に摂動されたランダムウォークの弱スケーリング極限は、$n \to \infty$ のときスケュー・ブラウン運動 $\sigma W_\gamma$ に一致する。
• スケューのパラメータは明示的に $\gamma = \mathbb{E}_{\pi}[X(1) - X(\alpha_1)] / \mathbb{E}_{\pi}|X(1) - X(\alpha_1)|$ で与えられ、ここで $\pi$ は埋め込み連鎖の定常分布である。
• すべての $j \in A$ に対して $\mathbb{E}\eta_j = 0$ が成り立つとき、極限は標準ブラウン運動（$\gamma = 0$）である。
• 証明技法は新規であり、マーティングール特徴付けに依拠しており、跳躍サイズに関する事前の仮定なしに明示的 $\gamma$ 公式の導出を可能にする。
• 先行研究が単位跳躍や特定の分布を仮定していたのを一般化し、今や膜外の任意の有限分散跳躍と膜内の任意の有限平均跳躍に適用可能である。
• パスワイズ制御と一様有界性を保証するため、$|\xi_1| \leq 2m+1$ がほとんど確実に成り立つ条件のもとで収束が成立する。