[論文レビュー] A FUNCTIONAL TREATMENT OF ASYMMETRIC COPULAS

Ahmed Sani|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Economic theories and models参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、コピュラとその転置行列との対称差のL1ノルムに基づく洗練された部分順序を導入することで、非対称コピュラの機能的および位相的取り扱いを提供する。同様の非対称性尺度を持つコピュラは非自明な同値類を形成することを確立し、非対称性の度合いを意味的に比較可能にする。主な貢献は、非対称性の「良い部分」に基づく順序付けを可能にする耐容性に基づく非対称性尺度µtであり、これは非対称コッブ＝ダグラス効用モデルに応用され、非対称成分のマージナル寄与度が高いためµ(C) > µ(D)となることが示されている。

ABSTRACT

The concept of asymmetric copulas is revisited and is made more precise. We give a rigorous topological argument for opportunity to define asymmetry measures defined recently by K.F Siburg [6] through exhibiting at least three ordered classes of copulas according to a suitable equivalence relation. We define a process of ordering subcopulas which makes clearer the degree of asymmetry. As illustration, we treat the asymmetric Cobb-Douglas utility model.

研究の動機と目的

• 非対称コピュラを、任意の測定法に依存しない厳密な定義と分類を提供し、既存の非対称性指標における曖昧さを解消すること。
• 同じ非対称性レベルを持つコピュラが非単一の同値類を形成することを確立し、部分順序⪯が非自明であることを証明すること。
• 非対称性の度合いを比較するための関数的フレームワークを構築し、非対称性の「良い部分」のL1ノルムを用いること。
• 経済的モデル、特に非対称コッブ＝ダグラス効用関数にこのフレームワークを適用し、要因の寄与度を定量化すること。

提案手法

• 任意のコピュラCに対して、ブラケットCs = |C − C⊤|を定義し、命題2.8を用いて「良い」(g)および「悪い」(b)部分に分解する。
• 耐容性パラメータt ∈ (0,1)を導入し、良い部分のL1ノルムに基づく部分順序≺tを定義する：C1 ≺t C2 とは、‖g1‖1 ≥ ‖g2‖1 であることを意味する。
• 特にµ1(f) = ‖g‖1であるµp測度を用い、非対称性の大きさを定量化する。gはブラケット分解から得られる。
• 正則性（リプシッツ連続性が保たれる）領域S1 × S2に制限することで、部分コピュラにこのフレームワークを適用する。
• 非対称コッブ＝ダグラスモデルを例示する：C(u,v) = (2/3)u^αv^1Q2 + (1/3)qnqm1Q2(qn,qm)。非対称性はu^αv^1Q2項に起因する。
• CおよびDのµ(C) = ‖g‖1を計算し、Cではgが非ゼロであり、Dではg = 0であるため、µ(C) > µ(D)であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ非対称性レベルを持つコピュラを区別できる、機能的および位相的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 Siburgらが定義した部分順序⪯は非自明であるか？すなわち、同じ非対称性尺度を持つコピュラが非単一の同値類を形成するか？
• RQ3 サポート外でブラケットの挙動が病理的になる部分コピュラの非対称性を、どのように意味的に比較できるか？
• RQ4 非対称成分がコッブ＝ダグラスのような効用モデルに与える定量的影響は何か？そして、関数的ノルムによってどのように捉えられるか？
• RQ5 非対称性の順序付けと大きさの両方を反映する耐容性に基づく尺度µtを定義できるか？

主な発見

• 部分順序⪯は非自明である：同じ非対称性尺度を持つコピュラは非単一の同値類を形成する。これは、洗練された比較ツールの必要性を裏付ける。
• ブラケット分解Cs = g + bにより、平均ゼロの「悪い」部分bと非負の「良い」部分gに非対称性が分離され、意味的な比較が可能になる。
• 非対称コッブ＝ダグラスコピュラCでは、良い部分gが非ゼロであり、µ(C) = ‖g‖1 > 0となる。一方、Dではg = 0であるため、µ(D) = 0となる。
• µ(C) > µ(D)は、CがDよりも非対称性の大きさが顕著に大きいことを定量的に確認する。両者とも非対称であるが、Cの方が顕著に非対称である。
• 耐容性パラメータt = 1はコピュラにとって自然である。これは単位区間の定義域と一致し、非対称性測度の完全なサポートを保証する。
• このフレームワークにより、関数的ノルムを用いて、コッブ＝ダグラス関数における資本と労働のマージナル寄与度の定量的比較が可能になる。