[論文レビュー] A functorial equivariant K-theory spectrum and an equivariant Lefschetz formula

Ivo Dell’Ambrogio, Heath Emerson+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、コンパクト群またはプロパー群コホーズ $G$ に対する $G$-C*-代数の等長的 K-理論を関手的に表す対称スペクトルを構成し、$\mathrm{KK}^G$ のブートストラップクラス内の強く双対可能な対象の自己準同型に対して、自然なトレース写像を可能にする。主な貢献は、ホジキン Lie 群に対して等長的 Lefschetz トレース公式を証明し、圏論的トレースが等長的 K-理論上で階数付き Hattori–Stallings トレースと一致することを示したことである。

ABSTRACT

We construct a symmetric spectrum representing the G-equivariant K-theory of C*-algebras for a compact group or a proper groupoid G. Our spectrum is functorial for equivariant *-homomorphisms. We use this to establish the additivity of the canonical traces for endomorphisms of strongly dualisable objects in the bootstrap class in equivariant KK, in analogy to previous results for traces in stable homotopy theory. As an application, we prove an equivariant analogue of the Lefschetz trace formula for Hodgkin Lie groups.

研究の動機と目的

• コンパクト群またはプロパー群コホーズ $G$ に対して、関手的に $G$-等長的 K-理論を表す対称スペクトルを構成すること。
• ブートストラップクラス内の強く双対可能な対象の自己準同型に対する自然なトレースの加法性を確立すること。
• ホジキン Lie 群に対して、圏論的トレースが等長的 K-理論上の Hattori–Stallings トレースと一致する等長的 Lefschetz トレース公式を証明すること。
• 双対性と三角圏構造を用いて、古典的 Lefschetz 固定点定理を等長的設定に一般化すること。

提案手法

• 等長的 $*$-準同型に関して関手的である対称スペクトルを、$G$-等長的 K-理論を表すように構成する。
• $\mathrm{KK}^G$ の三角圏的および対称モノイダル構造を用い、双対性における単位および余単位写像を介して圏論的トレースを定義する。
• 三角圏に適した対称モノイダル構造を持つ場合のトレースの加法性定理を適用し、整合性公理を検証する。
• 射影的分解と双対性を用いて、トレース計算をテンソル単位 $\mathbb{C}$ の場合に還元する。Bott 周期性を $\mathbb{Z}[\beta,\beta^{-1}]$ を通じて活用する。
• ホジキン Lie 群では、$\mathbb{C}$ が生成する局在的部分圏が非等長的ブートストラップクラスと一致することを用い、有限射影的分解が存在することを保証する。
• 自己準同型 $f \in \mathrm{KK}^G_0(A,A)$ のトレースが $\mathrm{K}^G_*(A)$ 上の Hattori–Stallings トレースに一致することを示すことにより、等長的 Lefschetz 公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群またはプロパー群コホーズに対して、$G$-等長的 K-理論を関手的に表す対称スペクトルを構成可能か？
• RQ2 ブートストラップクラス内の双対可能な対象の自己準同型に対する $\mathrm{KK}^G$ 内の自然なトレースは、正確な三角形において加法的か？
• RQ3 ホジキン Lie 群に対して、圏論的トレースが等長的 K-理論上の Hattori–Stallings トレースと一致する等長的 Lefschetz トレース公式が存在するか？
• RQ4 $\mathrm{KK}^G$ 内の双対性構造は、非等長的状況における古典的 Lefschetz 固定点定理とどのように関係するか？

主な発見

• コンパクト群またはプロパー群コホーズ $G$ に対して、等長的 $*$-準同型に関して関手的である対称スペクトルが、$G$-等長的 K-理論を表すように構成された。
• ブートストラップクラス内の強く双対可能な対象の自己準同型に対する自然なトレースは、正確な三角形において加法的である。
• トーショントルスループが自明な基本群をもつ連結コンパクト Lie 群（ホジキン Lie 群）$G$ に対して、$f \in \mathrm{KK}^G_0(A,A)$ の圏論的トレースは、$\mathrm{K}^G_*(A)$ 上の Hattori–Stallings トレースに一致する。
• 有限生成な $\mathrm{R}(G)$-加群としての $\mathrm{K}^G_*(A)$ 上の Hattori–Stallings トレースは、$A$ がブートストラップクラスに属し、$\mathrm{K}^G_*(A)$ が $\mathrm{R}(G)$ 上で有限生成であれば、圏論的トレースと一致する。
• この結果は、このような $G$ に対して $\mathrm{R}(G)$ が正則的かつネーター的であるため、有限生成 $\mathrm{R}(G)$-加群に対して有限射影的分解が存在することに起因する。
• 双対性と射影的分解を用いて、トレース計算をテンソル単位 $\mathbb{C}$ の場合に還元する。Bott 周期性を用いて、階数付き $\mathrm{R}(G)$-加群構造を単純化する。