[論文レビュー] A Fundamental System of Seminorms for $A(K)$

Dietmar Vogt|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$A(K)$ すなわち $K \subset \mathbb{R}^d$ における実解析的関数の芽の空間に対して、正の零列 $\delta = (\delta_n)$ を用いて定義されるノルムを用いて、明示的な基本系の半ノルムを提供する。主な結果は、半ノルム $|f|_\delta = \sup_\alpha \sup_{x \in K} \frac{|f^{\alpha}(x)|}{\alpha!} \delta_{|\alpha|}^{|\alpha|}$ が、$A(K)$ 到 $\varinjlim$ 空間への位相的同型写像を介して、完全性および連続性を確認するための Baernstein の補題を適用することにより、基本系をなすことを確立する。

ABSTRACT

Let $K\subset\R^d$ be compact and $A(K)$ the space of germs of real analytic functions on $K$ with its natural (LF)-topology. This topology can be given by $A(K)=\limind_{k o+\infty} A_k$ where $A_k=\{(f_α)_{α\in\N_0^d}\in C(K)^{\N_0^d}\,:\, \|f\|_k:=\sup_{x\in K} \frac{|f^{(α)}(x)|}{α!} k^{-|α|}< +\infty\}.$ Based on this description we give in the present note an explicit fundamental system of seminorms for $A(K)$.

研究の動機と目的

• コンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ 上の実解析的関数の芽の空間 $A(K)$ に対して、明示的な基本系の半ノルムを構成すること。
• 計算可能な半ノルムを用いて、自然な (LF)-位相を備えた $A(K)$ の位相的特徴づけを提供すること。
• 正の零列 $\delta_n$ を用いて定義されるノルムが、$A(K)$ 上で基本系の半ノルムをなすことを確立することにより、位相的完備性を保証すること。

提案手法

• $F_k$ を、$X = C(K)$ とし、$\|x\|_k = \sup_\alpha \|x_\alpha\| k^{-|\alpha|}$ で定義される多重添え字列の空間とし、$F = \varinjlim F_k$ を構成する。
• 任意の正の零列 $\delta = (\delta_n)$ に対して、連続なノルム $|x|_\delta = \sup_\alpha \|x_\alpha\| \delta_{|\alpha|}^{|\alpha|}$ を導入する。
• 任意の $\varepsilon_k \to 0$ に対して、$U_\delta \subset \sum_k \varepsilon_k B_k$ となるような $\delta$ が存在することを示すことにより、$\{ |\cdot|_\delta \}$ が $F$ 上で基本系の半ノルムをなすことを証明する。
• $A(f) = \left( \frac{f^{(\alpha)}(x)}{\alpha!} \right)_\alpha$ で定義される写像 $A: A(K) \to F$ は、連続的かつ単射な位相的同型写像である。
• Baernstein の補題を適用して、$A$ がその像上での位相的同型写像であることを確認し、$F$ からの半ノルム構造を $A(K)$ に移す。
• 結論として、半ノルム $|f|_\delta = \sup_\alpha \sup_{x \in K} \frac{|f^{(\alpha)}(x)|}{\alpha!} \delta_{|\alpha|}^{|\alpha|}$ が $A(K)$ 上で基本系をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ 上の実解析的関数の芽の空間 $A(K)$ に対して、構成的かつ明示的な基本系の半ノルムを提供できるか？
• RQ2 零列 $\delta_n$ から導かれるノルムを用いて、$A(K)$ 上の (LF)-位相をどのように記述できるか？
• RQ3 正の零列 $\delta$ をインデックスとする半ノルム族 $|f|_\delta = \sup_\alpha \sup_{x \in K} \frac{|f^{(\alpha)}(x)|}{\alpha!} \delta_{|\alpha|}^{|\alpha|}$ は、$A(K)$ 上で基本系をなすか？
• RQ4 このような半ノルムが、$A(K)$ 上の標準的な (LF)-位相と同じ位相を生成することを保証する位相的性質は何か？
• RQ5 バナッハ空間の帰納的極限の構造を用いて、$A(K)$ に対して計算可能な半ノルム系を導出できるか？

主な発見

• 任意の正の零列 $\delta = (\delta_n)$ に対して、半ノルム $|f|_\delta = \sup_\alpha \sup_{x \in K} \frac{|f^{(\alpha)}(x)|}{\alpha!} \delta_{|\alpha|}^{|\alpha|}$ は、$A(K)$ 上で基本系の半ノルムをなす。
• 証明は、$A(K)$ から帰納的極限空間 $F = \varinjlim F_k$ への位相的同型写像の構成に依拠しており、$F_k$ は $k^{-|\alpha|}$ を用いた成長制御を持つ列からなる。
• 任意の与えられた零列 $\varepsilon_k \to 0$ に対して、単位球 $U_\delta$ が和 $\sum_k \varepsilon_k B_k$ に含まれるような適切な $\delta$ が構成され、基本系の性質が保証される。
• $A(f) = \left( \frac{f^{(\alpha)}(x)}{\alpha!} \right)_\alpha$ で定義される写像 $A: A(K) \to F$ は、連続的かつ単射な位相的同型写像であり、半ノルム構造の移譲を可能にする。
• Baernstein の補題を適用して、$A$ がその像上での位相的同型写像であることを確認し、半ノルム系の位相的同値性を検証した。
• 結果として、$A(K)$ 上の (LF)-位相を明示的かつ計算可能な記述で与えることができ、収束性および有界性の分析が列に基づく半ノルムを用いて行えるようになった。