[論文レビュー] A Further Study of an $L^2$-norm Based Test for the Equality of Several Covariance Functions

Jia Guo, Jin‐Ting Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数データ解析における複数の共分散関数の等価性を検定するL2ノルムに基づく手法について、理論的および実証的検討を実施する。この手法の漸近的パワーの√n一致性を確立し、シミュレーションおよび実データを用いた検証から、データの相関が低いか、信号が高周波数に分布する状況では、次元削減に基づく代替手法を上回ることを示している。

ABSTRACT

For the multi-sample equal covariance function (ECF) testing problem, Zhang (2013) proposed an $L^{2}$-norm based test. However, its asymptotic power and finite sample performance have not been studied. In this paper, its asymptotic power is investigated under some mild conditions. It is shown that the $L^2$-norm based test is root-$n$ consistent. In addition, intensive simulation studies demonstrate that in terms of size-controlling and power, the $L^{2}$-norm based test outperforms the dimension-reduction based test proposed by Fremdt et al. (2013) when the functional data are less correlated or when the effective signal information is located in high frequencies. Two real data applications are also presented to demonstrate the good performance of the $L^2$-norm based test.

研究の動機と目的

• 張（2013）が提唱した、複数の共分散関数の等価性を検定するL2ノルムに基づく手法の漸近的パワーを調査すること。
• Fremdtら（2013）の次元削減アプローチと比較して、L2ノルム検定の有限標本における性能を評価すること。
• medflyの寿命曲線およびオрソシスのバイオメカニクス分野における実データ応用を通じて、L2ノルム検定の実用的有用性を示すこと。
• やや緩い正則性条件の下で、この検定の理論的一貫性を確立すること。
• 異なるデータ相関構造および信号周波数構造におけるサイズ制御とパワーの包括的比較を提供すること。

提案手法

• k個の標本間の推定共分散関数間の二乗L2距離に基づくL2ノルム検定統計量を提案する。
• 共分散関数が等しい帰無仮説の下での漸近的分布の性質を導出する。
• 検定統計量の帰無分布を近似するために、ワイルドブートストラップ手順を採用する。
• 分散推定のため、共分散作用素のトレースおよびその平方のトレースを推定するために、射影に基づくアプローチを用いる。
• 実関数データセット（medflyの寿命曲線およびオルソシスの膝モーメントデータ）にこの検定を適用する。
• 豊富なモンテカルロシミュレーションを通じて、Fremdtら（2013）の次元削減法と性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L2ノルムに基づく複数の共分散関数の等価性検定の漸近的パワー挙動はいかなるものか？
• RQ2 有限標本において、Fremdtら（2013）の次元削減法と比較してL2ノルム検定はどのように性能を発揮するか？
• RQ3 低相関または高周波数成分に信号が集中するようなデータ状況では、L2ノルム検定がなぜより高いパワーを示すのか？
• RQ4 実応用設定において、L2ノルム検定は第1種の過誤（Type I error）をどの程度適切に制御できるか？
• RQ5 実関数データにおいて、L2ノルム検定は共分散構造の有意な差を検出できるか？

主な発見

• L2ノルムに基づく検定は、漸近的パワーにおいて√n一貫性を示し、やや緩い正則性条件のもとでその信頼性が裏付けられる。
• シミュレーションでは、関数的データの相関が低い場合、L2ノルム検定がFremdtら（2013）の次元削減法を上回ることが確認された。
• 有効な信号情報が高周波数成分に集中する場合、L2ノルム検定は次元削減法よりも高いパワーを示した。
• medflyデータでは、相対的数え上げ（relative counts）を用いた場合、p値 = 0.0123で共分散関数の有意差が検出されたが、絶対的数え上げ（absolute counts）ではp値 = 0.3132で有意差は認められなかった。
• オルソシスデータでは、28の条件下で共分散関数が等しいという帰無仮説が棄却された（p値 = 0）、また第5の被験者についても差が検出された（p値 ≤ 0.0040）。
• オルソシスデータの第1被験者に関しては、L2ノルム検定は帰無仮説を採択した（p値 ≥ 0.2076）、これは共分散の差の強い証拠がないことを示しており、推定共分散関数の視覚的検討とも整合的であった。