[論文レビュー] A Galois connection between classical and intuitionistic logics

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、直感的論理（QH）と古典的論理（QC）の両方を保存的拡張するQHCを導入し、それらのリンデンバウム順序集合の間のガロア接続を通じて、新たな接続詞 ? と ! を用いて統合する。主な貢献は、コルモゴロフの問題解釈とゲーデルの証明解釈を統合する形式的体系を提供することであり、QHCはQHおよびQC+(!)（QS4と同一視される）への再帰を許容する。また、!? 時間的モダリティは、型理論的ブラケット化に類似した厳密な緩和的モダリティを捉える。

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems. We construct such a formal system QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Godel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

研究の動機と目的

• 直感的論理と古典的述語論理の両方を保存的に拡張する形式的体系を構築し、命題と問題の統一的取り扱いを可能にすること。
• コルモゴロフの問題解決の論理としてのビジョンを、命題と問題の双対性を形式化することで、論理の標準的側面として実現すること。
• 直感的論理の2つの基礎的解釈—コルモゴロフの問題解釈と証明解釈—の関係を明確にし、QHC内においてそれらが別個ではあるが重なり合うことを見ることで、両者が互いに還元不能であることを示すこと。
• QHとQCのリンデンバウム順序集合の間のガロア接続を誘導する ? と ! のモダリティの形式的基盤を提供すること。

提案手法

• 直感的論理（QH）と古典的論理（QC）のリンデンバウム順序集合の間でガロア接続を誘導する2つの新しい接続詞 ? と ! を導入する。
• QHとQCの両方の保存的拡張としてQHCを構築し、QHおよびQCのすべての定理がQHC内でも保たれることを保証する。
• コルモゴロフの二重否定翻訳を通じて、QHCからQHへの再帰を定義し、問題を命題に戻す。
• ゲーデルの証明可能性翻訳を通じて、QHCからそのQC+(?! )断片への再帰を定義し、これはモダリティ論理QS4と同一視される。
• !? モダリティをアツェルの意味での厳密な緩和的モダリティとして形式化し、直感的型理論におけるスラッシュ/ブラケット操作と一致させる。
• QHCを公理化し、コルモゴロフの問題解釈（ハイティングおよびクライゼルによる精錬を含む）と証明解釈（オルロフおよびハイティングによるもので、ゲーデルによって明確化されたもの）を完全に捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの形式的体系が、直感的論理と古典的述語論理を統合しながら、それぞれの証明論的およびモデル論的構造を保存できるか。
• RQ2 直感的論理と古典的論理のリンデンバウム順序集合の間の正確な代数的関係は何か。そして、随伴関手を用いて形式化可能か。
• RQ3 コルモゴロフの問題解釈と直感的論理の証明解釈を、1つの論理的枠組み内で正式に区別しつつも、一貫的に統合できるか。
• RQ4 古典的論理と直感的論理に ? と ! という新しい接続詞を追加することで、保存的拡張が得られ、元の体系が保たれるか。
• RQ5 ? と ! のモダリティ、およびそれによって生じる !? モダリティは、スラッシュ型やQS4などの既知の型理論的・モダリティ論理的構造とどのように関係するか。

主な発見

• QHCは、直感的述語計算（QH）および古典的述語計算（QC）の両方の保存的拡張であり、両システムのすべての定理が保たれる。
• ? と ! の接続詞は、QHとQCのリンデンバウム順序集合の間でガロア接続を誘導し、命題と問題の双対性を形式化する。
• コルモゴロフの二重否定翻訳は、QHCからQHへの再帰へと拡張され、問題解釈が一貫した部分系として正当化される。
• ゲーデルの証明可能性翻訳は、QHCからそのQC+(?! )断片への再帰へと拡張され、これはモダリティ論理QS4と同一視される。これにより、古典的モダリティ的推論がQHC内に埋め込まれる。
• QH+(!?)断片における !? モダリティは、アツェルの意味での厳密な緩和的モダリティであり、直感的型理論におけるスラッシュ/ブラケット操作に類似している。
• 2つの解釈—コルモゴロフの問題解釈と証明解釈—は、QHC内では正式に別個であるが、重なりあうため、互いに還元不能であることが示された。