[論文レビュー] A Galois connection between classical and intuitionistic logics. II: Semantics

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、QHC（問題と命題の共同論理）の三段階のモデル理論的枠組みを通じて、古典論理と直観論理の間のガロア接続を確立する。11個の保存的原則が古典論理および直観論理の上に妥当であることを、部分集合／シーヴ値モデル、濃度像モデル、MMモデルを用いて検証し、それらの独立性と完全な含意格子（一つの未解決含意を除く）を確認するとともに、意味論と代数方程式の解を結びつける。

ABSTRACT

Three classes of models of QHC, the joint logic of problems and propositions, are constructed, including a class of subset/sheaf-valued models that is related to solutions of some actual problems (such as solutions of algebraic equations). To test the models, we consider a number of principles and rules, which empirically appear to cover all "sufficiently simple" natural conjectures about the behaviour of the operators ! and ?, and include two hypotheses put forward by Hilbert and Kolmogorov, as formalized in the language of QHC. Each of these turns out to be either derivable in QHC or equivalent to one of 14 principles and rules, of which 11 are conservative over classical and intuitionistic logics. The three classes of models together suffice to confirm the independence of these 11 principles and rules, and to determine all implications between them, apart from one potential implication.

研究の動機と目的

• QHC（問題と命題の共同論理）の意味枠組みを、圏論的および位相的モデルに裏打ちして構築すること。
• QHCにおける演算子 $쿺ctor$ と $쿺ctor$ を形式化し、ヒルベルトの仮説およびコルモゴロフの仮説を含む自然な原則を妥当化すること。
• 古典論理および直観論理の上に保存的な11個の原則の独立性と完全な含意構造を確立すること。
• QHCの意味論を、特にシーヴおよび部分集合値モデルを通じて代数方程式の解に結びつけること。
• 濃度像モデルに関してQHCの完全性を調査し、特に命題論理の場合に完全性を裏付けること。

提案手法

• 部分集合／シーヴ値モデル、濃度像モデル、MMモデルという3つのモデルクラスを構築し、QHC意味論の異なる側面を捉える。
• パラメトリックな問題 $\Gamma_f(b)$ を連続写像 $f: X \to B$ でモデル化し、解を点の逆像 $f^{-1}(b)$ として特定する。
• $\wn\Gamma_f(b)$ の真偽値を $f(X)$ として定義し、$\wn$ を圏論的構成（積、余積）を集合論的構成（共通部分、和集合）に変換するものとして解釈する。
• $\wn(\Gamma_f \land \Gamma_g) = \wn\Gamma_f \land \wn\Gamma_g$ および $\wn(\Gamma_f \lor \Gamma_g) = \wn\Gamma_f \lor \wn\Gamma_g$ を、$f \times g$ および $f \sqcup g$ との同一視により確立する。
• 古典論理と直観論理の間のガロア接続を応用し、$\oc$ と $\wn$ を命題と問題の上での随伴モダリティとして解釈する。
• $T_1$ 空間では、MMモデルが $i = j^{-1}$ を満たす濃度像モデルに還元され、$j$ が単値関数であるときには離散空間が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QHCにおける $\oc$ および $\wn$ を取り扱う原則および規則のうち、14個のコア原則に同等であるものはどれか。
• RQ2 部分集合／シーヴ値モデルを用いたQHCの意味論はどのように形式化できるか。また、代数方程式の解とどのように関係するか。
• RQ3 古典論理および直観論理の上に保存的な11個の原則の間の含意格子は完全か。未解決の含意は何か。
• RQ4 濃度像モデルのクラスに関して、QHCは完全か。特に命題論理の場合に完全性が保証されるか。
• RQ5 異なるモデルクラス（濃度像、MMモデル、正則化に基づくモデル）は、位相的および圏論的にどのように関係するか。

主な発見

• 本稿では、$\oc$ と $\wn$ を取り扱う14個の原則および規則を特定し、そのうち11個が古典論理および直観論理の上に保存的であることを示した。
• 部分集合／シーヴ値モデル、濃度像モデル、MMモデルという3つのモデルクラスは、11個の保存的原則の独立性を確認し、完全な含意格子（一つの可能性のある含意を除く）を同定するために十分である。
• 部分集合／シーヴ値モデルは、初等数学において自然に現れ、連続写像 $f: X \to B$ を用いた代数方程式の解のモデル化に適している。
• $\wn\Gamma_f$ の真偽値は $f(X)$ であり、$\wn$ は圏論的積および余積を集合論的共通部分および和集合に変換する。
• $T_1$ 空間では、MMモデルは $i = j^{-1}$ を満たす濃度像モデルに還元され、$j$ が単値関数であるときには離散空間が生じる。
• 濃度像モデルに関して、QHCの完全性は、特に命題論理の場合に、Onoprienko（2018–2023）によって示された。