[論文レビュー] A Gamma-convergence approach to large deviations

Mauro Mariani|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、大偏差理論とΓ収束の間のきめ細やかな接続を確立する。広域収束、Γ収束、大偏差が異なる種類の収束として現れる統一的距離空間枠組みを導入した。主な貢献は、相対エントロピーとレベル集合汎関数のΓ極限を用いた大偏差の変分的アプローチであり、これによりレート関数の新たな表現が可能となり、2次補正を含む縮小原理やサンフォールド型定理の一般化が可能になった。

ABSTRACT

A rigorous connection between large deviations theory and Gamma-convergence is established. Applications include representations formulas for rate functions, a contraction principle for measurable maps, a large deviations principle for coupled systems and a second order Sanov theorem.

研究の動機と目的

• 確率測度と汎関数の文脈において、大偏差とΓ収束の間のきめ細やかな数学的リンクを確立すること。
• 広域収束、Γ収束、大偏差が異なる収束タイプとして含まれる統一的枠組みである距離空間W(X)を構築すること。
• 古典的大偏差結果（縮小原理、サンフォールドの定理など）を可測写像および高次漸近論に一般化すること。
• 相対エントロピーとレベル集合汎関数のΓ極限によるレート関数の変分的表現を提供すること。
• 独立同分布でない、または定常でない成分を含む結合系や過程（例：相互作用粒子系）に対しても大偏差原理を拡張すること。

提案手法

• 確率測度と下半連続汎関数を含む距離空間W(X)を導入し、広域収束とΓ収束を統合する位相を備えること。
• コンパクト集合K ∈ K(X)上で、関数列のΓ-liminfとΓ-limsupを、コンパクト部分集合上のハウスドルフ位相を用いて定義すること。
• コンパクト集合上での関数 K ↦ −log μ_n(K) から K ↦ −log μ(K) へのΓ収束と大偏差の等価性を確立すること。
• 相対エントロピーの変分的表現を用いて、エントロピー汎関数のΓ-liminfを介した大偏差レートの下界を導出すること。
• ラプラス＝ヴァラドハン法を用いて、レート関数の一般的表現を導出し、三角行列のi.i.d.確率変数に対する2次補正付きサンフォールド定理を証明すること。
• 相対エントロピーとレート関数の強凸性および等強凸性を活用して、指数的緊密性および収束結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大偏差は、測度と汎関数を含む統一的距離空間において、Γ収束の一種として特徴付けられるか。
• RQ2 レート関数は、相対エントロピーまたはレベル集合汎関数のΓ極限によってどのように表現できるか。
• RQ3 大偏差の縮小原理は、連続的でない（可測な）写像へどの程度一般化できるか。
• RQ4 結合系の大偏差原理は、固定変数を含む独立成分の部分系のLDPから、どのような条件下で回復できるか。
• RQ5 相互作用粒子系やマルコフ連鎖などのi.i.d.でない過程のための、大偏差速度とレート関数の構造はいかなるものか。

主な発見

• 本稿では、コンパクト集合上での関数 K ↦ −log μ_n(K) から K ↦ −log μ(K) へのΓ収束が大偏差原理（LDP）に対応することを確立し、LDPの変分的特徴付けを提供した。
• 相対エントロピー汎関数のΓ-liminfを用いた、レート関数の一般的表現式が導出され、ラプラス＝ヴァラドハン法が拡張された。
• 可測写像に対する新しい縮小原理が証明され、古典的な連続的ケースが一般化された。
• 独立成分に固定変数を含む場合、結合系の大偏差原理を回復するための十分条件が提示された。
• i.i.d.確率変数の三角行列に対して、2次補正付きサンフォールド定理が確立され、精密化された漸近的レートが得られた。
• レート関数の強凸性および等強凸性の仮定のもとで、元の測度列の指数的緊密性が証明され、LDPの有効性が保証された。