[論文レビュー] A Garside presentation for Artin-Tits groups of type $ ilde C_n$

François Digne|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Artin-Tits 群 $\tilde{C}_n$ を、$\tilde{A}_{2n-1}$ 型の Artin-Tits 群における対合の固定点群として実現することにより、$\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群に Garside 構造を確立する。固定点群としての Garside モノイドを『生成群』法により構成する。主な結果として、双対的表示と語問題の解法が得られ、Coxeter 元のべきの中心化群への応用がなされる。

ABSTRACT

We prove that an Artin-Tits group of type $ ilde C$ is the group of fractions of a Garside monoid, analogous to the known dual monoids associated with Artin-Tits groups of spherical type and obtained by the "generated group" method. This answers, in this particular case, a general question on Artin-Tits groups, gives a new presentation of an Artin-Tits group of type $ ilde C$, and has consequences for the word problem, the computation of some centralizers or the triviality of the center. A key point of the proof is to show that this group is a group of fixed points in an Artin-Tits group of type $ ilde A$ under an involution. Another important point is the study of the Hurwitz action of the usual braid group on the decomposition of a Coxeter element into a product of reflections.

研究の動機と目的

• アフィン型 $\tilde{C}_n$ の Artin-Tits 群に Garside 構造を確立すること。これは、$\tilde{A}$ 型を除く大多数のアフィン型において未解決の問題である。
• Garside 構造から導かれる正規形を用いて、$\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群の語問題を解くこと。
• $\tilde{C}_n$ 型で、球面型および $\tilde{A}$ 型で知られている結果を拡張し、Coxeter 元のべきの中心化群を計算すること。
• 球面型および $\tilde{A}$ 型で知られているものと同様の双対的表示を、$\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群に与えること。
• $W(\tilde{C}_n)$ における Coxeter 元の反射への最短分解の集合上での Hurwitz 動作の推移性を確認すること。

提案手法

• Artin-Tits 群 $\tilde{C}_n$ を、$\tilde{A}_{2n-1}$ 型 Artin-Tits 群における対合の固定点群として実現し、$\tilde{A}$ 型における既知の Garside 構造を活用する。
• $\tilde{A}_{2n-1}$ 内の Garside モノイドでないが、対合に関して安定なモノイドの固定点から Garside モノイドを構成する。
• 文献[2, 0.4]の『生成群』法を用い、固定点モノイドが明確な Garside 元をもつ Garside モノイドであることを示す。
• Garside モノイドの自己同型が Garside 元を保存する場合の固定点理論を応用し、Garside 構造を継承する。
• Coxeter 元の反射への分解における Hurwitz 動作を用い、推移性を証明することで、モノイド構成の根拠とする。
• 固定点モノイドと $C_{\text{gcd}(h,n)}$ 型 Artin-Tits 群の双対的胚との間の全単写像を確立し、中心化群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんどの非 $\tilde{A}$ アフィン型において Garside 構造が存在しないにもかかわらず、$\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群に双対的 Garside 構造を構成できるか？
• RQ2 $W(\tilde{C}_n)$ における Coxeter 元の反射への最短分解の集合上での Hurwitz 動作は、他のコクセター群と同様に推移的か？
• RQ3 Garside 元を保存する対合による固定点群として得られる $\tilde{A}_{2n-1}$ 型 Garside 群の部分群は、Garside 構造を継承するか？
• RQ4 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群における Coxeter 元のべきの中心化群の構造は何か？
• RQ5 適切な反射の胚から『生成群』法を用いて、$\tilde{C}_n$ 型の Garside モノイドを実現できるか？

主な発見

• Artin-Tits 群 $\tilde{C}_n$ は Garside 構造を有し、$\tilde{A}_{2n-1}$ 内の対合の固定点群として得られる Garside モノイドとして構成される。
• Coxeter 元の反射への最短分解の集合上での Hurwitz 動作は、$W(\tilde{C}_n)$ で推移的であり、重要な技術的結果である。
• 構成された Garside モノイドの分数群は、$\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群と同型であり、双対的表示が得られる。
• ${\bf c}^h$ の $G(\tilde{C}_n)$ 内の中心化群は、$C_{\text{gcd}(h,n)}$ 型 Artin-Tits 群と同型であり、球面型で知られている結果を拡張する。
• Garside モノイド構造により正規形が得られ、Garside 元と可除性格子を用いて $G(\tilde{C}_n)$ の語問題が解ける。
• 中心化群の計算は、${\bf c}^h$ の中心化群が ${\bf c}^{\text{gcd}(n,h)}$ の中心化群に等しいことにより、$h$ が $n$ を割り切る場合に還元されることに依存する。