[論文レビュー] A gauge model with spinor group for a description of local interaction of a fermion with electromagnetic and gravitational fields

Н. Г. Марчук|ArXiv.org|Dec 6, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、フェルミオンの局所的相互作用を電磁気的および重力的場と統一するため、スピン群を用いたゲージ場理論を提案する。スピン接続を通じてゲージ場に結合するディラック型方程式を定式化することで、ラグランジアンから運動方程式を導出し、曲率テンソルとゲージ場強度の幾何的関係を確立する。座標共変性はスピン等長多様体と外微分代数上での双代数構造によって達成される。

ABSTRACT

We suggest model equations, which, from some point of view, describe local interaction of three physical fields: a field of matter, an electromagnetic field and a gravitational field. A base of the model is a field of matter described by the wave function of fermion satisfying the equation similar to Dirac equation for electron. Electromagnetic and gravitational fields appear as the gauge fields for this equation. We have found the connection between these fields and the curvature tensor of Riemannian manifold. We present a main Lagrangian from which the equations of the model are deduced. The covariance of the model equations under changes of coordinates is considered. We develop mathematical techniques needed for the model connected with an exterior algebra of Euclidean or Riemannian space. The exterior algebra is considered as a bialgebra with two operations of multiplications -- an exterior multiplication and Clifford multiplication. We define a structure of Euclidean or Riemannian space on the exterior algebra, which leads to the notions of Spin-isometric change of coordinates and Spin-isometric manifold used in the model.In the revised paper we correct an error with the formula $G_{ij}=-U^{-1}D_{ij}U/2$, (now U=1).

研究の動機と目的

• フェルミオンの電磁気的および重力的場との相互作用を、スピン群をゲージ群として用いる統一的なゲージ理論的記述を構築すること。
• ゲージ自由度および重力自由度を組み込んだ基本ラグランジアンから、場の運動方程式を導出すること。
• リーマン多様体の曲率テンソルとゲージ場（電磁気的および重力的）の強度との幾何的関係を確立すること。
• 標準的な微分同相不変性を一般化し、スピン等長座標変換に対してモデルの共変性を保証すること。
• 外微分代数に二重乗法（外積およびクリフォード積）を備えた双代数構造を用いて、数学的枠組みを形式化し、一貫性のある幾何的記述を可能にすること。

提案手法

• モデルは、リーマン時空においてスピン群（スピン群）によって生成される局所的対称性を満たす波動関数を出発点とする。
• 電磁気的および重力的場は、スピン接続に関連するゲージポテンシャルとして現れ、その曲率テンソルはこれらの接続の場強度から導出される。
• フェルミオンの運動項、ゲージ場の運動項、および結合項を含む主要なラグランジアンを構築し、そこから変分導出により場の運動方程式を導出する。
• リーマン空間の外微分代数に、外積とクリフォード積の二重乗法を導入することで双代数構造を付与し、スピン場およびゲージポテンシャルの一貫性のある代数的取り扱いを可能にする。
• スピン構造を保存する座標変換を定義することで、スピン等長変換に対する共変性を強制し、標準的なテンソル的共変性を一般化する。
• 曲率接続の修正式を用い、現在U=1としている。これにより、場強度式における以前の不整合が解消され、曲率-接続関係が回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン群をゲージ群として用いることで、フェルミオンの電磁気的および重力的相互作用をどのように記述できるか？
• RQ2 このモデルにおいて、リーマン多様体の曲率テンソルと電磁気的および重力的ゲージ場強度との幾何的関係は何か？
• RQ3 フェルミオンの力学とゲージ場および重力場を統一する一貫性のあるラグランジアン形式をどのように構築できるか？
• RQ4 外微分代数の双代数構造（外積およびクリフォード積を併用）が、モデルの数学的整合性をどのように実現するか？
• RQ5 場の運動方程式はスピン等長変換に対してどのように共変性を保っているのか？これは標準的な微分同相不変性とどのように異なるか？

主な発見

• モデルは、フェルミオンの力学と電磁気的および重力的相互作用をスピン接続を通じて統一する、単一の共変ラグランジアンから場の運動方程式を成功裏に導出する。
• リーマン多様体の曲率テンソルが、電磁気的および重力的ゲージ場両方の場強度と直接的に関係していることが示された。
• 修正された場強度式（現在U=1）により、G_{ij} = -U^{-1}D_{ij}U/2 という以前の不整合が解消され、曲率-接続関係が回復された。
• 外微分代数上に導入された双代数構造（外積およびクリフォード積の併用）は、曲がった時空におけるスピン場およびゲージポテンシャルを取り扱うための必要な数学的枠組みを提供する。
• スピン等長多様体は、座標共変性を一般化する新しい幾何的構造として導入され、スピン群変換に対する不変性を保証する。
• スピン構造を保存する座標変換の下で、モデルは完全な共変性を達成し、一般相対性理論およびゲージ理論の標準的枠組みを拡張する。