[論文レビュー] A Gauge-theoretical Treatment of the Gravitational Field: Kinematical

Henrique Gomes|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、3次元多様体上のリーマン計量の空間上で一般相対性理論をゲージ理論として定式化し、微分同相型および共形微分同相型群をゲージ対称性として用いる。明示的なスーパemetrik誘導ゲージ接続を構築し、共形対称性が標準的な微分同相型群における病理的性質を解消し、形状力学およびホラヴァ重力と整合することを示している。

ABSTRACT

In the geometrodynamical setting of general relativity in Lagrangian form, the objects of study are the {\it Riemannian} metrics (and their time derivatives) over a given 3-manifold $M$. It is our aim in this paper to study the gauge properties that the space Riem(M) of all metrics over $M$ possesses, specially as they relate to the constraints of geometrodynamics. For instance, the Hamiltonian constraint does not generate a group, and it is thus hard to view its action in Riem(M) in a gauge setting. However, in view of the recent results representing GR as a dual theory, invariant under foliation preserving 3--diffeomorphisms and 3D conformal transformations, but not under refoliations, we are justified in considering the gauge structure pertaining only to the groups $\mathcal{D}$ of diffeomorphisms of $M$, and $\mathcal{C}$, of conformal diffeomorphisms on $M$. For these infinite-dimensional symmetry groups, Riem(M) has a natural principal fiber bundle (PFB) structure, which renders the gravitational field amenable to the full range of gauge-theoretic treatment. We discuss some of these structures and construct explicit formulae for supermetric-induced gauge connections. To apply the formalism, we compute general properties for a specific connection bearing strong resemblance to the one naturally induced by the deWitt supermetric, showing it has desirable relationalist properties. Finally, we find that the group of conformal diffeomorphisms solves the pathologies inherent in the $\DD$ group and also brings it closer to Horava gravity and the dual conformal theory called Shape Dynamics.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上のリーマン計量の空間上で一般相対性理論をゲージ理論として再定式化すること。
• ハミルトニアン制約における群構造の欠如を、葉付き保存微分同相型および共形微分同相型に焦点を当てることで解決すること。
• 3次元微分同相型群および共形微分同相型群を用いて、計量空間上に主バンドル構造を確立すること。
• 関係的性質を持つデ・ウィットスーパemetrikによって誘導される明示的なゲージ接続を構築すること。
• 共形微分同相型が標準的な微分同相型群に内在する病理的性質を解消し、形状力学のような双対的定式化と整合することを示すこと。

提案手法

• 3次元多様体 M 上のリーマン計量 Riem(M) に注目した一般相対性理論の微分幾何的定式化（ラグランジュ形式）。
• 無限次元群 D（微分同相型）および C（共形微分同相型）を重力場の関係するゲージ対称性として特定する。
• D および C による同値類の空間を基底空間とする Riem(M) 上の主バンドル（PFB）構造を確立し、完全なゲージ理論的取り扱いを可能にする。
• デ・ウィットスーパemetrikによって誘導されるゲージ接続の明示的公式を導出する。このスーパemetrikは重力の位相空間の運動論的構造を支配する。
• 構築された接続の幾何学的および物理的性質を分析し、その関係的性質および共形不変性に特に注目する。
• 得られたゲージ構造をホラヴァ重力および形状力学のものと比較し、一貫性の向上および従来の病理的性質の解消を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における重力場を、リーマン計量の空間上で一貫したゲージ理論としてどのように定式化できるか？
• RQ2 ゲージ理論的枠組みにおいてハミルトニアン制約の役割は何か？なぜこれは群作用を生成しないのか？
• RQ3 計量空間 Riem(M) に、微分同相型および共形微分同相型の両方の作用の下で主バンドル構造を導入できるか？
• RQ4 デ・ウィットスーパemetrikによって誘導されるゲージ接続の明示的性質は何か？そして、関係的性質を示すか？
• RQ5 共形微分同相型の導入が、標準的な微分同相型群に内在する病理的性質をどのように解消し、形状力学のような双対的重力理論と関係づけるか？

主な発見

• リーマン計量の空間 Riem(M) は、微分同相型群 D および共形微分同相型群 C の作用の下で自然な主バンドル構造を備える。
• デ・ウィットスーパemetrikは、背景独立な物理学と整合する強力な関係的性質を示す Riem(M) 上のゲージ接続を誘導する。
• 共形微分同相型群 C は、制約代数およびゲージフローの文脈において、標準的な D 群に内在する病理的性質を解消する。
• 構築されたゲージ接続は、デ・ウィットスーパemetrikから自然に生じるものの非常に近く、物理的妥当性を裏付ける。
• 共形対称性の導入により、形式的枠組みは形状力学およびホラヴァ重力に近づき、より深い統合の可能性を示唆する。
• ゲージ理論的枠組みは、一般相対性理論の双対的定式化の文脈において、重力の運動論的構造を一貫的かつ幾何学的に自然に取り扱う。