[論文レビュー] A General Asymptotic Implied Volatility for Stochastic Volatility Models

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アーベル接続を備えたリーマン多様体上の熱核展開を用いて、確率的ボラティリティモデルにおけるインプライド・ボラティリティの一般化された漸近公式を導出する。この手法により、SABRモデルに対するHaganらの公式を改善した1次漸近インプライド・ボラティリティが得られ、β=0およびβ=1のケースに対して正確な解が得られ、ポアンカレ双曲平面とλ-SABRモデルとの間の幾何的対応関係が確立される。

ABSTRACT

In this paper, we derive a general asymptotic implied volatility at the first-order for any stochastic volatility model using the heat kernel expansion on a Riemann manifold endowed with an Abelian connection. This formula is particularly useful for the calibration procedure. As an application, we obtain an asymptotic smile for a SABR model with a mean-reversion term, called lambda-SABR, corresponding in our geometric framework to the Poincaré hyperbolic plane. When the lambda-SABR model degenerates into the SABR-model, we show that our asymptotic implied volatility is a better approximation than the classical Hagan-al expression . Furthermore, in order to show the strength of this geometric framework, we give an exact solution of the SABR model with beta=0 or 1. In a next paper, we will show how our method can be applied in other contexts such as the derivation of an asymptotic implied volatility for a Libor market model with a stochastic volatility.

研究の動機と目的

• 任意の確率的ボラティリティモデルに適用可能な一般化された1次漸近インプライド・ボラティリティの公式を導出すること。
• リーマン多様体とアーベル接続に基づく幾何的メソッドを用いて、確率的ボラティリティモデルのキャリブレーションを統一すること。
• SABRモデルに対する古典的なHaganらの漸近公式を、平均回帰項（λ-SABR）を組み込むことで改善すること。
• SABRモデルにおいてβ=0またはβ=1の場合に、条件付き確率の正確な解を導出すること。
• ポアンカレ双曲平面とλ-SABRモデルとの間の幾何的対応関係を確立すること。

提案手法

• リーマン多様体上の熱核展開を用いて、条件付き確率密度関数の短時間漸近解を、後退コルモゴロフ方程式から導出する。
• 局所ボラティリティ関数を、フォッカー・プランク方程式の共変形式を介して得られる、確率的ボラティリティの平均として表現する。
• 鞍点法を適用して、局所ボラティリティ関数の1次漸近展開を、多様体の幾何的構造に基づいて得る。
• ドリフト過程をモデル化するために、ラインバンドル上にアーベル接続を導入し、インプライド・ボラティリティ展開における1次補正に寄与する。
• 時間依存の実数直線上での熱核法を用いて、局所ボラティリティとインプライド・ボラティリティとの間の1対1の漸近的対応関係を確立する。
• 多次元積分のラプラス法を適用して、オプションプライシング積分の主要項および1次項の漸近的評価を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の確率的ボラティリティモデルに対して、一般化された1次漸近インプライド・ボラティリティの公式をどのように導出できるか？
• RQ2 インプライド・ボラティリティ展開における0次項および1次項の幾何的解釈は何か？
• RQ3 SABRモデルに平均回帰パラメータ（λ）を組み込むと、古典的SABRモデルと比較して漸近スマイリの挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ4 SABRモデルにおいてβ=0またはβ=1の場合に、条件付き確率の正確な解を導出できるか？
• RQ5 アーベル接続は、インプライド・ボラティリティにおけるドリフト依存の1次補正をどのように捉えているか？

主な発見

• 0次漸近インプライド・ボラティリティは、リーマン多様体上の測地線距離によって決定され、幾何的構造とインプライド・ボラティリティスマイリとの間のリンクが確立される。
• インプライド・ボラティリティ展開における1次補正は、ドリフト過程を符号化するアーベル接続に依存する。
• λ-SABRモデルにおいて、導出された漸近インプライド・ボラティリティは、古典的なHaganらの公式よりも良好な近似を与える。特に、正しいスケイの挙動を捉えている。
• SABRモデルにおいてβ=0またはβ=1の場合に、条件付き確率の正確な解が得られ、幾何的フレームワークの整合性が確認された。
• 幾何的フレームワークにより、λ-SABRモデルがポアンカレ双曲平面に対応することが確立され、モデルに対する微分幾何的解釈が明確になった。
• 本手法により、将来の研究で示されるように、ストキャスティック・ボラティリティを有するLIBORマーケットモデルなど、他のモデルに対しても、漸近インプライド・ボラティリティを体系的に導出可能である。