[論文レビュー] A general continuous-state nonlinear branching process

Pei-Sen Li, Yang Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、人口規模に依存する分岐率と競争を伴う確率微分方程式（SDE）によって支配される一般化された連続状態非線形分岐過程を導入し、マルティンゲール技法を用いて絶滅、爆発、無限大からの帰還の鋭い条件を確立する。主な貢献は、フォスター＝リャプノフ基準と、分岐関数がべき関数である場合の明示的結果である。

ABSTRACT

In this paper we consider the unique nonnegative solution to the following generalized version of the stochastic differential equation for a continuous-state branching process. \beqnn X_t \ar=\ar x+\int_0^tγ_0(X_s)\dd s+\int_0^t\int_0^{γ_1(X_{s-})} W(\dd s,\dd u)\cr \ar\ar\qquad+\int_0^t\int_{0}^\infty\int_0^{γ_2(X_{s-})} z ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u), \eeqnn where $W(\dd t,\dd u) $ and $ ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u)$ denote a Gaussian white noise and an independent compensated spectrally positive Poisson random measure, respectively, and $γ_0,γ_1$ and $γ_2$ are functions on $\mbb{R}_+$ with both $γ_1$ and $γ_2$ taking nonnegative values. Intuitively, this process can be identified as a continuous-state branching process with population-size-dependent branching rates and with competition. Using martingale techniques we find rather sharp conditions on extinction, explosion and coming down from infinity behaviors of the process. Some Foster-Lyapunov type criteria are also developed for such a process. More explicit results are obtained when $γ_i, i=0, 1, 2$ are power functions.

研究の動機と目的

• 非線形で人口規模に依存する分岐機構および競争を伴う連続状態分岐過程の一般枠組みを構築すること。
• このような過程の長期的挙動（絶滅、爆発、無限大からの帰還）を確率的解析を用いて分析すること。
• マルティンゲール技法およびフォスター＝リャプノフ基準を用いて、これらの挙動の十分条件を導出すること。
• 分岐関数がべき関数である場合の明示的結果を提供し、過程のダイナミクスの定量的分析を可能にすること。

提案手法

• ガウス白色ノイズと補正済みスペクトル的に正のポアソン確率測度を用いた確率微分方程式（SDE）を定式化する。
• 現在の人口規模に依存するドリフト、拡散、ジャンプ成分を持つSDEのパスワイズ一意な非負解として過程を定義する。
• 生成子および局所時間解析を用いることで、特にサンプルパスの挙動をマルティンゲール技法で分析する。
• 適切なリャプノフ関数（$ x^{1-a} $と対数項を含む）を構築することで、再発性およびエルゴード性に関するフォスター＝リャプノフ型基準を導出する。
• カップリングおよび強マルコフ性の議論を用いて、大きな区間からの抜ける確率を推定し、下位レベルに到達するまでの時間を制御する。
• 対数的およびべき関数的スケール変換を用いて極端な状態における挙動を分析し、特に無限大からの帰還を重点的に検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 競争と人口規模に依存する分岐率を伴う非線形連続状態分岐過程が、ほとんど確実に絶滅する条件は何か？
• RQ2 過程が有限時間内で爆発するための必要十分条件は何か？
• RQ3 過程が無限大から帰還するとは、すなわち無限大から出発して有限時間内に有限値に到達することを意味するが、その条件は何か？
• RQ4 分岐率関数 $ \gamma_0, \gamma_1, \gamma_2 $ の関数的形態が、過程の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ5 このような非線形過程に対して、再発性またはエルゴード性を保証するフォスター＝リャプノフ基準を確立できるか？

主な発見

• 分岐率関数が $ \gamma_2(x) \sim x^\alpha $ と漸近的に振る舞い、かつ生成子における対数項の成長が制御されている場合、過程はほとんど確実に無限大から帰還する。
• 分岐関数がべき関数 $ \gamma_i(x) = c_i x^{\alpha_i} $ である場合、絶滅、爆発、無限大からの帰還のための明示的条件を導出する。
• ドリフトおよびジャンプ成分が適切な積分テスト（$ \psi(\lambda) $ を含む）を満たす場合、過程はほとんど確実に絶滅する。これは古典的なグレイの条件の拡張である。
• ドリフトおよび拡散成分が $ x $ に対して線形より速く成長する場合、特定の可積分性条件のもとで爆発が発生する。
• フォスター＝リャプノフ基準は、リャプノフ関数 $ V(x) = x^{1-a} $（$ a \in (0,1) $）を用いて確立され、生成子条件 $ \mathcal{L}V(x) \leq -c $ が十分大きな $ x $ で成り立つことで再発性が保証される。
• 初期値が大きい場合、過程は任意の固定されたレベル $ b > 0 $ を有限時間内に到達する確率が高く、到達時間は $ (1+\delta)^r (\ln x)^{1-r} $ で有界であり、$ r > 1 $ のとき有限である。