[論文レビュー] A General Expression for the Quartic Lovelock Tensor

C. C. Briggs|ArXiv.org|Mar 27, 1997

Elasticity and Material Modeling被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般線形接続を伴うn次元多様体における4次ラベルロックテンソルの一般式を、リーマン＝クリスティオーベルテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率を用いて導出する。主な貢献は、ラベルロック枠組みを4次曲率不変量へ拡張する閉形式のテンソリアル表現を提供することであり、多項式曲率ラグランジアンを持つ高次元重力理論の構築を可能にする。

ABSTRACT

A general expression is given for the quartic Lovelock tensor in terms of the Riemann-Christoffel and Ricci curvature tensors and the Riemann curvature scalar for n-dimensional differentiable manifolds having a general linear connection. In addition, expressions are given (in the appendix) for the coefficient of the quartic Lovelock Lagrangian as well as for lower-order Lovelock tensors and Lovelock Lagrangian coefficients.

研究の動機と目的

• 一般線形接続を伴う任意次元における4次ラベルロックテンソルの一般テンソリアル表現を導出すること。
• ラベルロック形式的枠組みを2次曲率不変量を超えて4次項へ拡張すること。
• 4次ラベルロックラグランジアンおよび低次のラベルロックテンソルの明示的係数表現を提供すること。
• 一般相対性理論および高次元重力理論における高次曲率不変量を構成する体系的な枠組みを確立すること。
• 多項式曲率ラグランジアンを持つ高次導関数重力モデルの開発を支援すること。

提案手法

• リーマン＝クリスティオーベル曲率テンソル、リッチテンソル、スカラー曲率から構成される完全に反変で対称なテンソルとして4次ラベルロックテンソルを導出する。
• 一般線形接続を用いることで、非計量的適合接続への適用可能性を保証する。
• 対称性と次元性に整合するすべての可能な方法でリーマンおよびリッチテンソルを縮約するためのテンソル代数を適用する。
• 置換およびトレース操作を用いて、ラベルロッククラスに属する唯一の4次対称テンソルを特定する。
• 付録で4次ラグランジアンおよび低次のラベルロックテンソルの明示的係数表現を提供する。
• 最終的な表現が一般座標変換に関してゲージ不変で、明示的にテンソリアルであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般線形接続を伴うn次元多様体における4次ラベルロックテンソルの一般テンソリアル形態は何か？
• RQ2 4次ラベルロックラグランジアンは、曲率不変量から体系的にどのように構成できるか？
• RQ3 4次および低次のラベルロックテンソルの明示的係数表現は何か？
• RQ4 4次ラベルロックテンソルは、高次元における2次ラベルロックテンソルをどのように一般化するか？
• RQ5 ラベルロッククラスに属する唯一の4次曲率テンソルを定義する対称性および代数的制約は何か？

主な発見

• 一般線形接続を伴うn次元多様体において、リーマン＝クリスティオーベルテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率を用いた4次ラベルロックテンソルの閉形式表現が導出された。
• 得られたテンソルは、対称的で、完全に反変的であり、一般座標変換に関して不変である。
• 4次ラベルロックラグランジアンの係数は明示的に計算され、曲率不変量の4次同次多項式として示された。
• スカラー、ベクトル、2次の低次のラベルロックテンソルは、一般枠組みの特別な場合として体系的に導出された。
• 任意次元における高次曲率不変量を構成する一貫性があり体系的な手順が提供された。
• 結果は、n次元時空における多項式曲率ラグランジアンを持つ高次導関数重力理論を構築する基盤を築いた。