[論文レビュー] A General Formulation for the Stiffness Matrix of Parallel Mechanisms

Cyril Quennouelle, Marion Gosselin|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、アクチュエータおよび被動ジョイントの剛性、追加のジョイントおよびリンクの柔軟性、大変位を考慮した平行機構のデカルト剛性行列（CSM）の一般化された定式化を提示する。この手法は、ポテンシャルエネルギーとヘッセ行列に基づく導出を用い、平面および空間機構の両方に対して対称的で正定値かつ保存的であるCSMを生成する。数値的検証により、サルビャージュのモデルなど既存のモデルと比較して、特に高外部荷重下でも優れた精度を示している。

ABSTRACT

Starting from the definition of a stiffness matrix, the authors present a new formulation of the Cartesian stiffness matrix of parallel mechanisms. The proposed formulation is more general than any other stiffness matrix found in the literature since it can take into account the stiffness of the passive joints, it can consider additional compliances in the joints or in the links and it remains valid for large displacements. Then, the validity, the conservative property, the positive definiteness and the relation with other formulations of stiffness matrices are discussed theoretically. Finally, a numerical example is given in order to illustrate the correctness of this matrix.

研究の動機と目的

• アクチュエータの剛性に加え、被動ジョイントの剛性およびジョイントとリンクにおける追加の柔軟性を含めた、既存のモデルを一般化する剛性行列定式化を開発すること。
• 剛性行列が大変位および非定数のヤコビ行列下でも有効であることを保証すること。
• 提案された行列に対して、対称性、正定値性、保存的性といった理論的性質を確立すること。
• MSC Adamsなどの確立されたシミュレーションツールと比較して、定式化を数値的に検証すること。また、サルビャージュのモデルなど既存のモデルと比較すること。
• 外部荷重下における被動ジョイントの柔軟性が機構挙動に与える実用的影響を示すこと。

提案手法

• 外部の力の作用に伴うポテンシャルエネルギーのヘッセ行列から一般化剛性行列（GSM）を導出する。
• 被動ジョイントに非ゼロの剛性を明示的に含む運動学的モデルを用い、ジョイントおよびリンクにおける柔軟性のモデリングを可能にする。
• ポテンシャルエネルギーのヘッセ行列を用いてデカルト剛性行列（CSM）を定義し、安定平衡状態下で対称性および正定値性を保証する。
• ヤコビ行列が定数でない場合や外部荷重が非ゼロの場合でも有効である一般化された定式化を導入する。
• MSC Adamsとの比較による数値シミュレーションを通じて、定式化を検証する。
• ねじ運動論および仮想ジョイントモデリングを用いて、柔軟な被動ジョイントを表現し、正確な剛性表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの剛性を持つ被動ジョイントおよびジョイントとリンクにおける追加の柔軟性を考慮した剛性行列定式化を開発できるか？
• RQ2 ヤコビ行列が非定数であり、大変位が生じる状況下でも、剛性行列が有効かつ保存的であるようにできるか？
• RQ3 外部荷重下における被動ジョイントの柔軟性がエンドエフェクタの姿勢に与える影響は何か？
• RQ4 さまざまな外部荷重下で、提案されたCSMはサルビャージュのモデルと比較してどれほど高い精度を示すか？
• RQ5 提案された定式化により、柔軟な機構に対して剛性行列が正定値性および対称性を保証できるか？

主な発見

• 提案された剛性行列は、対称的で正定値的かつ保存的であり、安定な機械的システムに必要な理論的要件を満たしている。
• 数値結果から、提案されたCSMはMSC Adamsのシミュレーションと一致し、250反復後の位置で最大0.5 μm、姿勢で最大2.1×10⁻³ radの偏差を示した。
• サルビャージュの行列は外部荷重の増加に伴い著しい誤差増大を示し、同様の条件下で位置で最大3 μm、姿勢で最大1.2×10⁻² radの偏差を示した。
• 被動ジョイントの剛性は機構の柔軟性に直接的影響を与える：外部の力の作用下での変位振幅は、被動ジョイント剛性を0から100 N·rad⁻¹に増加させることで減少した。
• アクチュエータ剛性の20分の1程度の被動ジョイント剛性でさえ、モデルが極端な状況下でも高い精度を維持しており、強健性を示している。
• この定式化により、柔軟な平行マニピュレータの精密制御が可能となり、機械的剛性に依存しない高精度制御が実現できる。