[論文レビュー] A General Framework for Computing the Nucleolus Via Dynamic Programming

Jochen Koenemann, Justin Toth|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、協力ゲームにおける核（nucleolus）を効率的に計算する一般化された動的計画法の枠組みを提示している。最小超過コалиション問題が整数的動的計画法によって解ける場合、核は多項式時間で計算可能であることを示している。主な貢献は、有界な木幅を持つグラフにおけるb-マッチングゲームの核を多項式時間で計算するアルゴリズムの開発であり、先行研究を重み付き投票ゲームにとどまらずより広い組合せ最適化ゲームのクラスへと拡張したものである。

ABSTRACT

This paper defines a general class of cooperative games for which the nucleolus is efficiently computable. This class includes new members for which the complexity of computing their nucleolus was not previously known. We show that when the minimum excess coalition problem of a cooperative game can be formulated as a hypergraph dynamic program its nucleolus is efficiently computable. This gives a general technique for designing efficient algorithms for computing the nucleolus of a cooperative game. This technique is inspired by a recent result of Pashkovich (2018) on weighted voting games. However our technique significantly extends beyond the capabilities of previous work. We demonstrate this by applying it to give an algorithm for computing the nucleolus of b-matching games in polynomial time on graphs of bounded treewidth.

研究の動機と目的

• 協力ゲームにおける核の計算のための一般化された枠組みを、動的計画法を用いて開発すること。
• 重み付き投票ゲームに関する先行研究を、より広い組合せ最適化ゲームのクラスへと拡張すること。
• 動的計画法に合同制約を組み込む条件を確立し、核が有効に計算可能であることを示すこと。
• 本枠組みが、有界木幅を持つグラフにおけるb-マッチングゲームに適用可能であることを示すこと。
• 有向無閉路ハイパーグラフに基づく動的計画法を形式化し、合同制約付き最適化を支援すること。

提案手法

• 有向無閉路ハイパーグラフを用いて、可能な解と制約をモデル化することで、動的計画法を形式化する。
• 合同制約を動的計画法に組み込む技術を導入し、計算複雑性が多項式的増加にとどまることを保証する。
• 有向無閉路ハイパーグラフに基づく動的計画法に合同制約を追加しても、計算複雑性が高々多項式的要因しか増加しないことを証明する。
• 核の計算を、動的計画法を用いて最小超過コールリション問題に還元する。
• 有界木幅を持つグラフにおけるb-マッチングゲームの最小超過コールリションのための動的計画法定式化を構築する。
• 一般枠組みを適用し、このようなゲームの核が多項式時間で計算可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で協力ゲームの核が多項式時間で計算可能になるか？
• RQ2 重み付き投票ゲームに用いられる動的計画法のアプローチを、他の協力ゲームのクラスへ一般化できるか？
• RQ3 協力ゲームの解概念の文脈において、動的計画法に合同制約を追加した際の計算的影響は何か？
• RQ4 有界木幅を持つグラフにおけるb-マッチングゲームの核は多項式時間で計算可能か？
• RQ5 ハイパーグラフに基づく動的計画法モデルは、b-マッチングゲームのような複雑な制約を扱えるか？

主な発見

• 最小超過コールリション問題が整数的動的計画法によって解ける限り、任意の協力ゲームの核は多項式時間で計算可能である。
• 有向無閉路ハイパーグラフ上の動的計画法に合同制約を追加しても、計算複雑性は高々多項式的要因しか増加しない。
• 有界木幅を持つグラフにおけるb-マッチングゲームの核は多項式時間で計算可能である。
• 本枠組みは、パシュコビッチによる重み付き投票ゲームに関する先行研究を一般化し、大幅に拡張したものである。
• ハイパーグラフに基づく動的計画法に合同制約を組み込むことで、b-マッチングゲームの最小超過コールリションのための動的計画法定式化を成功裏に構築した。
• 本枠組みは、木幅などの構造的性質に基づいて、計算可能な協力ゲームのクラスを系統立てて同定するための新しい体系的手段を提供する。