[論文レビュー] A General Framework for Enhancing Sparsity of Generalized Polynomial Chaos Expansions

Xiu Yang, Xiaoliang Wan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、交互方向法を用いて確率的変数の反復的回転変換により一般化されたポリノミアルクラウス（gPC）展開におけるスパarsityを向上させる一般化フレームワークを提案する。測定行列の相互コherニティを最小化する最適な回転行列を特定することで、特に非ガウス分布および高次元問題（最大O(100)次元）において、圧縮センシングの精度と効率が向上する。本手法は、レジェンドルおよびチェビシェフ展開において実証され、先行のエルミートベースの手法の一般化である。

ABSTRACT

Compressive sensing has become a powerful addition to uncertainty quantification when only limited data is available. In this paper we provide a general framework to enhance the sparsity of the representation of uncertainty in the form of generalized polynomial chaos expansion. We use alternating direction method to identify new sets of random variables through iterative rotations such that the new representation of the uncertainty is sparser. Consequently, we increases both the efficiency and accuracy of the compressive sensing-based uncertainty quantification method. We demonstrate that the previously developed iterative method to enhance the sparsity of Hermite polynomial expansion is a special case of this general framework. Moreover, we use Legendre and Chebyshev polynomials expansions to demonstrate the effectiveness of this method with applications in solving stochastic partial differential equations and high-dimensional (O(100)) problems.

研究の動機と目的

• 不確実性定量化（UQ）において、利用可能なサンプルが限られている状況でスパースなgPC展開を構築する課題に対処すること。
• ヒルミート多項式にとどまらず、任意の確率分布を有する一般gPC展開へ、回転に基づくスパarsity強化を拡張すること。
• 最適な変数回転を通じて測定行列の相互コヒーレンスを低減させることで、圧縮センシングに基づくUQの精度と効率を向上させること。
• 先行の回転ベースの手法（例：反復的ヒルミート多項式法）を統合する一般化されたフレームワークを提供すること。
• 高次元または非ガウス入力を持つ複雑なシステムに対して、少ないシミュレーションや実験で効果的なUQを可能にすること。

提案手法

• 反復的に元の確率的変数を回転させる回転行列を特定するため、交互方向法が用いられる。この回転により、新しい変数集合が得られ、そのgPC表現がよりスパースになる。
• 回転は、パrameter空間全体における勾配の特異値分解（SVD）を用いて、目的関数（QoI）の変動を最大化することで決定される。
• 本手法は、測定行列の相互コヒーレンスを最小化するように回転行列を最適化することで、圧縮センシングの性能を向上させる。
• 本フレームワークは任意のgPC基底（例：レジェンドル、チェビシェフ、ヒルミート）に適用可能であり、入力変数にガウス分布の仮定を必要としない。
• 標準的な圧縮センシングソルバー（例：ℓ₁最小化、OMP、ℓ₁-2最小化）と統合可能である。
• 今後の研究では、正規直交でない変換への拡張を想定しており、これによりさらなるスパarsityと精度の向上が期待される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ガウス分布に対して、特にヒルミート多項式を超えたgPC展開におけるスパarsity向上のための一般化フレームワークを開発できるか？
• RQ2 圧縮センシングに基づくUQにおいて、確率的変数の反復的回転が測定行列の相互コヒーレンスに与える影響は何か？
• RQ3 提案手法は、高次元問題における正確なgPC再構成に必要なサンプル数をどの程度削減できるか？
• RQ4 ヒルミート多項式用の反復的回転法は、本一般化フレームワークの特殊ケースであるか。また、性能面での比較はいかがなものか？
• RQ5 非対称または退化分布（例：ラゲール多項式）に適用した場合、本手法の限界は何か？

主な発見

• 提案フレームワークは、先行の回転ベース手法を一般化しており、反復的ヒルミート多項式法[56]がその特殊ケースである。
• レジェンドルおよびチェビシェフ展開において、本手法はスパarsityの向上と相互コヒーレンスの低減が顕著に見られ、μがそれぞれ0.15から0.45、0.50に上昇した。
• 高次元問題（d=12, N=455, M=180）において、標準的な圧縮センシングと比較して、より少ないサンプルで精度を維持または向上させた。
• レジェンドル（0.15 → 0.45）およびチェビシェフ（0.15 → 0.50）の両方において、回転後に相互コヒーレンスμが上昇した。これは、ℓ₁最小化に適した条件付けが改善されたことを示している。
• 非対称分布（例：ラゲール多項式）に対しては、数値的テストで測定行列の退化が原因で一部のケースで失敗したため、本手法は効果が限定的である。
• 本フレームワークにより、計算コストを削減しつつ正確なサーモンモデルが構築可能であり、特に高価なシミュレーションや実験に特に有益である。