[論文レビュー] A general framework for secondary constructions of bent and plateaued functions

Samir Hodžić, Enes Pašalić+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、合成表現（関数をブール関数とベクトル値関数の合成として表現すること）を用いた、バントおよびプラトウ関数の2次的構成の一般枠組みを提案する。この構造を活用することで、間接和やRothausの構成といった既存の手法を統一・拡張でき、初期関数に制限的な条件を課さない新しい効率的な構成法を可能にするとともに、分野における未解決問題を解消する。

ABSTRACT

In this work, we employ the concept of {\em composite representation} of Boolean functions, which represents an arbitrary Boolean function as a composition of one Boolean function and one vectorial function, for the purpose of specifying new secondary constructions of bent/plateaued functions. This representation gives a better understanding of the existing secondary constructions and it also allows us to provide a general construction framework of these objects. This framework essentially gives rise to an {\em infinite number} of possibilities to specify such secondary construction methods (with some induced sufficient conditions imposed on initial functions) and in particular we solve several open problems in this context. We provide several explicit methods for specifying new classes of bent/plateaued functions and demonstrate through examples that the imposed initial conditions can be easily satisfied. Our approach is especially efficient when defining new bent/plateaued functions on larger variable spaces than initial functions. For instance, it is shown that the indirect sum methods and Rothaus' construction are just special cases of this general framework and some explicit extensions of these methods are given. In particular, similarly to the basic indirect sum method of Carlet, we show that it is possible to derive (many) secondary constructions of bent functions without any additional condition on initial functions apart from the requirement that these are bent functions. In another direction, a few construction methods that generalize the secondary constructions which do not extend the variable space of the employed initial functions are also proposed.

研究の動機と目的

• バント関数およびプラトウ関数の2次的構成を統一的かつ一般化する枠組みを構築すること。
• 特に初期関数に最小限または制限のない条件を課さない2次的構成に関する未解決問題に取り組むこと。
• 既存の構成法（例：間接和、Rothausの手法）が提案された枠組みの特殊ケースであることを示すこと。
• 変数空間が同じかそれ以上に大きな領域で、柔軟かつ容易に満たされる条件のもとでバント／プラトウ関数を構成できることを実現すること。
• このような構成が、既知の主クラスに属さない関数を生成できるかどうかを検討すること。

提案手法

• ブール関数をブール関数 f とベクトル値関数 H の合成 f(H(x)) として表現することで、座標関数の操作を柔軟に可能にする。
• 合成関数がバントまたはプラトウの性質を保つための十分条件を、合成表現を用いて導出する。
• ワイフル＝ハダマール変換（WHT）分析を用いて、合成関数のスペクトル特性を特徴付ける。
• 部分空間分解と双対性（例：U⊥）を用いて、ワイフルスペクトルを制御し、プラトウまたはバントの性質を保証する。
• 複数のプラトウ関数をそのワイフルスペクトルの直和を用いて組み合わせる汎用的手法（命題5.3）を導入し、新たなプラトウまたはバント関数を生成する。
• アフィン部分空間の構造とスペクトル分割を活用し、非ゼロのワイフル係数と所望の振幅値を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様なバントおよびプラトウ関数の2次的構成を統一する一般枠組みを確立できるか？
• RQ2 初期のバントまたはプラトウ関数に制限的な条件を課さずに2次的構成を設計できるか？
• RQ3 間接和やRothausの構成といった代表的な手法が、より広範な統一枠組みの特殊ケースであるか？
• RQ4 既知の主クラスに同値でない新たなバント関数のクラスを生成できるか？
• RQ5 制限を最小限に抑えつつ、同じかより大きな変数空間で効率的にバント／プラトウ関数を生成できるか？

主な発見

• 合成表現枠組みは、既存の構成法（例：間接和、Rothausの構成）を特殊ケースとして一般化・包含する。
• この枠組みにより、初期関数がバントである限り追加の制約が不要となるバント関数の構成が可能となり、2次的構成分野における未解決問題を解消する。
• 必要な初期条件（例：ワイフルスペクトルや部分空間に関する条件）が容易に満たせる明示的構成法が提示されており、例示により実証されている。
• 部分空間分解を用いることで、スペクトル特性を制御可能な形で、より大きな変数空間上での新しいバントまたはプラトウ関数の効率的生成が可能である。
• 汎用的手法（命題5.3）が提案され、r 個のプラトウ関数のワイフルスペクトルの直和を用いて、t-プラトウ関数を生成する。ここで t=0 であればバント性が保証される。
• 十分条件を満たす条件下で、座標関数や外部関数の選択を変化させることで、無限に多くの2次的構成を体系的に生成できる。