[論文レビュー] A General Fredholm Theory II: Implicit Function Theorems

Helmut Hofer, Kris Wysocki+1 more|ArXiv.org|May 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、M-多様体と多様体理論の文脈において、Fredholm係数の一般化された陰関数理論を構築し、局所次元が変化する無限次元空間への古典的Fredholm理論の拡張を試みる。微小な陰関数定理を収縮胚を通じて確立し、正則なFredholm係数の摂動が境界と角を持つコンパクトな多様体を解集合として与えることを証明し、それによりシンプレクティック場理論および関連するFloer型理論におけるcobordism不変量が得られる。

ABSTRACT

This is the revised version of the second paper in a series introducing a generalized Fredholm theory in a new class of smooth spaces called polyfolds. The theory will be illustrated in upcoming papers by applications to Floer Theory, Gromov-Witten Theory and Symplectic Field Theory. Some proofs have been improved and a glossary added.

研究の動機と目的

• M-多様体および強力なM-多様体バンドルの無限次元的設定への古典的陰関数定理の拡張。
• 局所次元が定数でない空間および可変な滑らかさを持つ空間におけるFredholm係数の厳密な解析的枠組みの構築。
• 正則なFredholm係数のための横断性および摂動理論の確立。これにより、良好に振る舞う解集合が得られる。
• 小さな摂動における解集合のcobordismを介した不変量の構成。シンプレクティック場理論およびGromov-Witten理論に関連する。

提案手法

• 収縮胚を主要な解析的道具として導入。完備空間における収縮原理を用い、制御された正則性を持つ解胚の導出。
• スプライシングに基づく微分幾何学を用いてFredholm係数を定義。M-多様体バンドルにおけるsc滑らかさおよびsc⁺滑らかさ構造を用いる。
• M-多様体の内部および境界の場合の両方において、良いパラメータ化を用いた解集合の局所理論の構築。
• 補助的ノルムおよび混合収束を用いて摂動を制御し、境界に関して一般位置を保証。
• 正則なFredholm係数を用いたグローバル理論の構築。境界と角を持つ解集合を有する小さなsc⁺摂動の存在を証明。
• 滑らかな点における係数の線形化を用いて、sc-Fredholm作用素を定義。摂動によるインデックス不変性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数の局所次元をもつ無限次元空間に対して、陰関数定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 Fredholm係数の解集合が境界と角を持つ多様体であるための条件は何か。
• RQ3 正則なFredholm係数の小さな摂動が、境界に対して横断的であり、かつcobordantである解集合を与えるか。
• RQ4 摂動の下で、Fredholm係数の解集合からどのようにcobordism類のような不変量が生じるか。
• RQ5 収縮胚およびsc滑らかさ構造は、解胚の正則性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 収縮胚に対しては微小な陰関数定理が成り立ち、収縮原理により解胚の存在および正則性が保証される。
• Fredholm係数の局所的解集合は、内部および境界の両ケースにおいて明示的なパラメータ化を伴い、境界と角を持つ多様体であることが示された。
• 正則なFredholm係数fに対して、任意に小さなsc⁺-係数sが存在し、f+sは∂Xに対して横断的であり、f⁻¹(0)の任意の近傍Uにおいて(f+s)⁻¹(0)が境界と角を持つコンパクトな多様体である。
• 十分に小さなsc⁺-摂動s₀およびs₁に対して、摂動の滑らかな弧sₜが存在し、{(t,x) | f(x)+sₜ(x)=0}という全解集合が[0,1]×Xにおいて境界と角を持つコンパクトな多様体である。
• 境界が存在しない場合（∂X=∅）、Fredholm係数の解集合は非向き付けられたcobordism不変量である。向き付け可能な係数の場合は、向き付けられたcobordismカテゴリにおける不変量である。
• sc滑らかな係数の滑らかな点における線形化は、sc-Fredholm作用素であり、線形化に用いられるsc⁺-係数の選択にかかわらず、Fredholmインデックスは不変である。