[論文レビュー] A general maximum principle for mean-field stochastic differential equations with jump processes

Mokhtar Hafayed, Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、拡散係数およびジャンプ係数の両方に制御が影響する平均場ストキャスティック微分方程式（SDE）の最適制御に対して、一般化された確率的最適性原理を確立する。スパイク変動法を用いて、1階の随伴過程を表す線形平均場後向きSDE（BSDE）を含む必要十分条件を導出する。これは、期待値依存係数およびジャンプダイナミクスを含む古典的結果の拡張である。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the optimal control problems for stochastic differential equations (SDEs in short) of mean-field type with jump processes. The control variable is allowed to enter into both diffusion and jump terms. This stochastic maximum principle differs from the classical one in the sense that here the first-order adjoint equation turns out to be a linear mean-field backward SDE with jumps, while the second-order adjoint equation remains the same as in Tang and Li's stochastic maximum principle [32]. Finally, for the reader's convenience we give some analysis results used in this paper in the Appendix.

研究の動機と目的

• 平均場SDEに従う確率的制御問題の最適性条件を導出すること。
• 係数が状態過程の期待値に依存する系において、古典的確率的最適性原理を拡張すること。
• 平均場フレームワークに制御依存係数を有する拡散およびジャンプ係数を組み込むこと。
• コスト関数が平均場型である最適制御問題を扱うこと。
• 非凸な制御領域および非凸な係数に対して有効な一般化された最適性原理を確立すること。

提案手法

• 最適制御を摂動するためにスパイク変動法を適用し、1階の最適性条件を導出する。
• 1階の随伴方程式を、ジャンプを含む線形平均場後向きSDEとして導出する。これは古典的SDEとは区別される。
• ジャンプ過程における martingale 表現定理を用いて、随伴過程を特徴付ける。
• ジャンプ拡散過程における部分積分公式を用いて、コスト関数の変動を処理する。
• ジャンプ拡散過程における Itô の公式およびポアソン確率測度に関する確率積分のモーメント推定に依存する。
• ハミルトニアンと2次項を含む変分不等式を通じて最適性条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的最適性原理は、ジャンプ過程を有する平均場SDEにどのように拡張可能か？
• RQ2 制御が平均場的文脈において拡散およびジャンプ係数の両方に作用する場合、最適性の必要条件は何か？
• RQ3 係数が状態の期待値に依存する場合、随伴方程式の構造はどのように異なるか？
• RQ4 スパイク変動法は、ジャンプおよび平均場依存性を有する状況でも最適性条件を導出するために適応可能か？
• RQ5 非凸な制御領域に対して、導出された最適性条件が必要かつ一般であることを保証する条件は何か？

主な発見

• 1階の随伴方程式は、ジャンプを含む線形平均場後向きSDEであり、古典的随伴方程式を一般化する。
• 2階の随伴方程式は、TangとLiのフレームワークと同一であり、古典的最適性原理の構造を保持する。
• 必要最適性条件は、ハミルトニアンと制御摂動の2次項を含む変分不等式として表現される。
• 係数およびコスト関数が期待値に明示的に依存しない場合、結果はTangとLi（2003）の古典的確率的最適性原理に還元される。
• 本手法により、随伴過程およびジャンプ寄与を含むハミルトニアン系を通じて最適制御の完全な特徴付けが得られる。
• 解析には、導出された最適性条件の有効性を保証する厳密なモーメント推定および可積分性条件が含まれる。