[論文レビュー] A general necessary and sufficient optimality conditions for singular control problems

Seïd Bahlali|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2階展開を避ける新しい1階アプローチを用いて、特異確率的制御問題に対する一般化された必要十分最適性条件を確立する。非凸な制御領域と一般化された状態力学（制御が drift および拡散係数の両方に作用する）のもとで、1つの共役過程を用いて、緩和的特異制御および厳密特異制御の両方に対するグローバル確率的最適性原理を導出する。

ABSTRACT

We consider a stochastic control problem where the set of strict (classical) controls is not necessarily convex and the the variable control has two components, the first being absolutely continuous and the second singular. The system is governed by a nonlinear stochastic differential equation, in which the absolutely continuous component of the control enters both the drift and the diffusion coefficients. By introducing a new approach, we establish necessary and sufficient optimality conditions for two models. The first concerns the relaxed-singular controls, who are a pair of processes whose first component is a measure-valued processes. The second is a particular case of the first and relates to strict-singular control problems. These results are given in the form of global stochastic maximum principle by using only the first order expansion and the associated adjoint equation. This improves and generalizes all the previous works on the maximum principle of controlled stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 非凸な制御領域を有する特異確率的制御問題のための統一的最適性フレームワークを構築すること。
• 測度値制御過程の導入により、緩和的特異制御への確率的最適性原理の拡張を図ること。
• 2階変分不等式を避けるために、1階展開のみを用いて必要十分条件を確立すること。
• 制御領域やハミルトニアンの制御変数に関する凸性仮定を排除することで、先行研究を一般化すること。
• 厳密特異制御および緩和的特異制御問題に対する既存の最適性原理の形式を統合・改善すること。

提案手法

• 制御集合上の確率測度を表す $\mathbb{P}(U_1)$-値過程 $q_t$ を用いて、$U_1$-値制御 $v_t$ を置き換える新しい緩和的特異制御のクラスを導入する。
• コスト関数の1階展開と関連する共役方程式を用いて、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ を定義する。
• Ekelandの変分原理と安定性特性を活用し、緩和制御における凸摂動を通じて必要最適性条件を導出する。
• 終端条件がコスト関数に結びつくバックワードSDEを解く共役過程 $\left(p_t, P_t\right)$ を用いて、グローバル確率的最適性原理を確立する。
• 最適制御で $\delta(U_1)$ 上での $\mathcal{H}$ の下界が達成されることを用いて、必要条件を保証する。
• コスト関数を最小化する最適制御を保証するために、$g$ の凸性および $x \mapsto H(t,x,q,p,P)$ の凸性を仮定し、十分性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階展開に依存せずに、特異確率的制御問題に対する必要十分最適性条件を導出可能か？
• RQ2 非凸な制御領域を有する緩和的特異制御に、確率的最適性原理をどのように拡張できるか？
• RQ3 1階解析のみを用いて、厳密特異制御と緩和的特異制御問題を統一的な最適性フレームワークで統合可能か？
• RQ4 最適性条件が成立するために必要な制御領域およびハミルトニアンの最小限の仮定は何か？
• RQ5 2つの共役過程から1つに減少させることで、最適性原理の有効性を維持できるか？

主な発見

• 本稿では、1階展開のみを用いて、緩和的特異制御に対する必要十分最適性条件をグローバル確率的最適性原理の形で確立する。
• 最適性条件は、$\mathcal{H}(t,x_t^{(\mu,\xi)},\mu_t,p_t^{(\mu,\xi)},P_t^{(\mu,\xi)}) = \inf_{q_t \in \delta(U_1)} \mathcal{H}(t,x_t^{(\mu,\xi)},q_t,p_t^{(\mu,\xi)},P_t^{(\mu,\xi)})$ a.s., a.e. として表現され、最適制御がハミルトニアンを最小化することを保証する。
• 条件 $\mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^d \mathbf{1}_{\{k_i(t) + G_i^*(t)p_t^{(\mu,\xi)} \geq 0\}} d\xi_t^i = 0\right\} = 1$ により、利益がない場合には特異制御が作用しないことが保証される。
• 本稿では、ハミルトニアンが $\delta(U_1)$ 上で最小化され、共役過程が所定の条件を満たす場合に、最適制御 $ (u,\xi) $ が $ \mathcal{U} $ 上でコスト関数 $ J $ を最小化することを証明する。
• BahlaliとMezerdi (2006) の結果を改善し、2階展開と2つの共役過程の必要性を排除することで、複雑性を低減する。
• 十分最適性条件は、$U_1$ や $H$ の $v$ における凸性を仮定せず、より広範な問題クラスに適用可能である。