[論文レビュー] A general product of tensors with applications

Jia‐Yu Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列積を高次テンソルへ拡張する一般化されたテンソル積を導入し、テンソル演算の統一的取り扱いを可能にする。同積は結合則などの基本的性質を満たし、テンソル類似性、同値性、直積を定義するものであり、スペクトル理論、ハイパーグラフスペクトル、非負テンソルの原始性に関する新たな結果を導く。具体的には、原始度の上限やゼロパターンによる特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We define a general product of two $n$-dimensional tensors $\mathbb {A}$ and $\mathbb {B}$ with orders $m\ge 2$ and $k\ge 1$, respectively. This product is a generalization of the usual matrix product, and satisfies the associative law. Using this product, many concepts and known results of tensors can be simply expressed and/or proved, and a number of applications of this product will be given. Using this tensor product and some properties on the resultant of a system of homogeneous equations on $n$ variables, we define the similarity and congruence of tensors (which are also the generalizations of the corresponding relations for matrices), and prove that similar tensors have the same characteristic polynomials. We study two special kinds of similarity: permutational similarity and diagonal similarity, and their applications in the study of the spectra of hypergraphs and nonnegative irreducible tensors. We define the direct product of tensors (in matrix case it is also called the Kronecker product), and give its applications in the study of the spectra of two kinds of the products of hypergraphs. We also give applications of this tensor product in the study of nonnegative tensors, including a characterization of primitive tensors, the upper bounds of primitive degrees and the cyclic indices of some nonnegative irreducible tensors.

研究の動機と目的

• 行列積を高次テンソルへ拡張し、結合則を満たす一般化されたテンソル積を定義すること。
• 既知のテンソルスペクトル理論の結果の表現および証明を統一的かつ簡略化すること。
• 一般化されたテンソル積を用いて、テンソル類似性、同値性、直積を定義し、スペクトル解析に応用すること。
• ゼロパターンの性質を用いて非負テンソルの原始性を特徴付け、原始度の上限を導出すること。
• 非負かつ非可約テンソルのスペクトルの対称性および回転不変性を調査すること。

提案手法

• 次数 m ≥ 2 および k ≥ 1 の n 次元テンソルの一般積を定義し、行列積を一般化する。
• その積が結合則を満たすことを証明し、一貫した代数的取り扱いを可能にする。
• 一般積を用いてテンソル類似性および同値性を定義し、類似するテンソルが同一の特性多項式を持つことを示す。
• テンソルの直積（Kronecker積の一般化）を導入し、重要な定理を用いて一般積と関連付ける。
• 非負テンソルの解析に一般積を適用し、テンソルのべきのゼロパターンと原始性の関係を明らかにする。
• 結果論およびハイパーデターミナントを用いて、置換および対角類似性の下でのスペクトル不変性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次テンソルに対して行列積を統一的かつ一般化するための一般テンソル積をどのように定義できるか？
• RQ2 一般テンソル積が満たす代数的性質（例えば結合則）は何か？
• RQ3 一般積を用いて定義されるテンソル類似性および同値性は、スペクトル不変性および特性多項式とどのように関係するか？
• RQ4 非負テンソルの原始性とそのべきのゼロパターンとの関係は何か？
• RQ5 非負テンソルの原始度に対してどのような上限を確立でき、固定された次数 m に対して多項式境界が存在するか？

主な発見

• 一般テンソル積は結合的であり、行列やベクトルに適用すると標準的な行列積に還元される。
• 一般積を用いて定義される類似するテンソルは、同一の特性多項式を持ち、したがって同じスペクトル（重複度付き）を持つ。
• 置換類似性により、ハイパーグラフのスペクトルは頂点ラベルの順序に依存しない。
• 巡回インデックス k の非負かつ非可約テンソルに対して、スペクトルは複素平面上で 2π/k だけ回転しても不変である。
• 非負テンソルの原始性は、要素の大きさではなく、ゼロパターンにのみ依存する。
• 非負テンソル 𝒜 の原始度 γ(𝒜) は、γ(𝒜) ≤ γ(M(𝒜)) ≤ (n−1)² + 1 を満たす。ここで M(𝒜) は関連する行列である。
• 固定された次数 m に対して、原始度が n について多項式で有界であるという予想を提示する。
• 強原始性でないが原始であるテンソルが存在することを示し、次数 m ≥ 3 の場合に原始性と強原始性の違いが明確に現れることを示す。