[論文レビュー] A General Solver Based on Sparse Resultants

Ioannis Z. Emiris|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スパース結果式に基づく汎用多項式系ソルバを提示する。この手法は、ニュートン多面体から導かれる構造的行列を用いて、根の特定問題を固有値計算に還元する。スパース構造を有する系に対しては、視覚、ロボット工学、構造生物学の応用分野において、平均オンラインCPU時間が0.5秒未塔の高速かつ高精度な解法を実現する。

ABSTRACT

Sparse (or toric) elimination exploits the structure of polynomials by measuring their complexity in terms of Newton polytopes instead of total degree. The sparse, or Newton, resultant generalizes the classical homogeneous resultant and its degree is a function of the mixed volumes of the Newton polytopes. We sketch the sparse resultant constructions of Canny and Emiris and show how they reduce the problem of root-finding to an eigenproblem. A novel method for achieving this reduction is presented which does not increase the dimension of the problem. Together with an implementation of the sparse resultant construction, it provides a general solver for polynomial systems. We discuss the overall implementation and illustrate its use by applying it to concrete problems from vision, robotics and structural biology. The high efficiency and accuracy of the solutions suggest that sparse elimination may be the method of choice for systems of moderate size.

研究の動機と目的

• スパース構造を活用して効率を向上させる汎用的多項方程式系ソルバの開発を目的とする。
• グレブナー基底やホモトピー続行法を必要としない、スパース結果式行列を用いた固有値問題への根の特定問題の還元を目的とする。
• 視覚、ロボット工学、構造生物学分野の実世界問題を高精度かつ高速に処理できる実装および評価を目的とする。
• 係数の摂動による数値的不安定性を解消し、固有値クラスタリングと誤差解析を用いて解の信頼性を向上させる。
• 行列多項式および同伴行列技術を用いて、多重根および対称系の効率的取り扱いを検討する。

提案手法

• ニュートン多面体の混合体積を用いてスパース結果式行列を構築し、古典的結果式をスパース系に一般化する。
• スパース結果式から導かれる行列を用いて、根の特定問題を一般化固有値問題に還元し、堅牢な数値線形代数ツールの利用を可能にする。
• 2通りのアプローチを採用する：過剰な制約系を生成するために一般化されたu多項式を追加する方法、または1変数を係数体に隠す方法。
• 特に2次以上の行列多項式において、系が1変数に関してモニックである場合には、結果得られる同伴行列に対する標準的固有値分解を適用する。
• C言語で実装し、統合された固有値ソルバを備える。オフラインでの行列構築とオンラインでの係数特化を分離することで、効率を向上させる。
• 数値的条件付けのチェックを実施し、行列係数が悪条件である場合に安定性を向上させるためにランダム変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース結果式行列は、問題次元の増加を伴わせることなく、効率的に構築可能であり、根の特定問題を固有値問題に還元できるか？
• RQ2 実世界の系において、スパース結果式ソルバの性能および精度は、グレブナー基底法やホモトピー法と比較してどうなるか？
• RQ3 係数入力における数値的不安定性の影響は何か？ また、固有値計算中にどのように緩和できるか？
• RQ4 高重複度の根を有する対称系は、固有値に基づく手法を用いてどのように正確に解けるか？
• RQ5 混合体積が中程度のスパース多項式系に対して、本手法は一般化可能か？

主な発見

• 視覚、ロボット工学、構造生物学分野の問題に対して、Sun Sparc 20で平均オンラインCPU時間が0.2～0.4秒を達成した。
• 解は少なくとも5～8桁の精度で得られ、真の解における残差誤差は[0.6×10⁻⁹, 0.3×10⁻³]の範囲にあり、誤検出された解の残差は最大3.0×10²⁰に達した。
• 係数が摂動されたシクロヘキサン問題では、少なくとも8桁の正確な根を回復し、整数上でのグレブナー基底の結果と一致した。
• 16個の実根を有する例では、対称性と固有ベクトル解析を用いて、三重固有値に由来する根をすべて正しく同定した。
• 1つの問題では結果式行列の次元が86であり、追加されたu多項式に対応する行が30行であった。一般化固有値問題は、12個の複素根、3個の無限大の実根、15個の有限実根を正常に計算した。
• 特にボーゼュト境界に比べて混合体積が小さい系において、従来の手法を上回る速度と精度を達成した。