[論文レビュー] A Generalisation of Steenrod's Approximation Theorem

Christoph Wockel|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2006

Mathematics and Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無限次元の局所凸多様体をファイバーとする滑らかで局所的に自明なバンドルへ、スティーロッドの近似定理を一般化する。基礎多様体およびファイバーにやや弱い位相的・幾何的条件を課すと、任意の連続的切断は、閉部分集合上で滑らかさを保ちつつ、連続的ホモトピーに拡張可能な滑らかな近似が可能であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we aim for a generalisation of the Steenrod Approximation Theorem from, concerning a smoothing procedure for sections in smooth locally trivial bundles. The generalisation is that we consider locally trivial smooth bundles with a possibly infinite-dimensional typical fibre. The main result states that a continuous section in a smooth locally trivial bundles can always be smoothed out in a very controlled way (in terms of the graph topology on spaces of continuous functions), preserving the section on regions where it is already smooth.

研究の動機と目的

• 局所凸多様体をファイバーとする無限次元バンドルへ、スティーロッドの古典的近似定理を拡張すること。
• 指定された閉部分集合上で滑らかさを保つ連続的切断の滑らか化手順を確立すること。
• 元の切断と滑らかな近似の間の連続的ホモトピーを、与えられた開集合の外で等しいままに保つように構成すること。
• 特に局所凸多様体の文脈において、無限次元幾何学における滑らか近似の枠組みを提供すること。
• 滑らかかつ連続的ホモトピーが局所凸多様体へは一致するか、その条件を示すこと。

提案手法

• 収束および近似の細かな制御を保証するため、連続関数の空間におけるグラフ位相を用いる。
• 局所凸空間の凸な開部分集合をモデルとするチャートにおける局所的滑らか化手順を適用する。
• 滑らかなカットオフ関数を用いた再パrametrizationにより、与えられた連続的ホモトピーをホモトピーとして構成する。
• 主定理の適用可能性を活用して、角を持つ多様体上の引き戻しバンドルにおける切断への問題の還元を行う。
• 必要に応じて、ホモトピーにおける基点の保存を保証するため、分区画の議論を用いる。
• 滑らかな近似の存在を保証するため、基礎多様体の局所コンパクト性およびファイバーの局所凸性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーロッドの近似定理は、無限次元の局所凸ファイバーをもつバンドルへ拡張可能か？
• RQ2 滑らかで局所的に自明なバンドルにおける連続的切断が、閉部分集合上で滑らかさを保ちつつ滑らかに近似可能となる条件は何か？
• RQ3 与えられた開集合の外で切断が等しいように、連続的切断とその滑らかな近似との間の連続的ホモトピーを構成可能か？
• RQ4 滑らかかつ連続的ホモトピーが局所凸多様体へは一致するか。もしそうならば、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 特にグラフ位相というトポロジーの選択が、無限次元設定における近似およびホモトピー構成にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 局所凸多様体をファイバーとする滑らかで局所的に自明なバンドルにおける連続的切断は、与えられた開集合の外で元の切断と一致する滑らかな近似を持つ。
• 滑らかな近似は、開集合の補集合上で元の切断を保つ連続的ホモトピーとして実現可能である。
• 元の切断がすでに滑らかである閉部分集合の近傍において、ホモトピーをさらに滑らかに精錬可能である。
• 角を持つ多様体の場合、基礎空間がコンパクトでなくても、滑らかな近似とホモトピー制御を併せ持つ定理が拡張可能である。
• この結果は、局所凸多様体への連続写像が滑らかな写像にホモトープであり、連続的ホモトピーが滑らかなものにホモトープであることを示唆する。
• 基点を保存する切断およびホモトピーの場合、構成により、全期間にわたり基点を保存する滑らかなホモトピーが得られる。