[論文レビュー] A generalised Green-Julg theorem for proper groupoids and Banach algebras

Walther Paravicini|ArXiv.org|Feb 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固有局所コンパクト群コアのおよびバナッハ代数へグリーン＝ジャルグ定理を一般化し、バナッハ代数のための等長的KK理論と交差積のための相対KK理論との間に自然な同型を確立する。主な結果は、バナッハ代数のためのボストアセンブリーマップが分解可能全射であるということであり、これはC*-代数に限らず、K理論および作用素代数論の基礎的結果を拡張するものである。

ABSTRACT

The Green-Julg theorem states that K_0^G(B) is isomorphic to K_0(L^1(G,B)) for every compact group G and every G-C*-algebra B. We formulate a generalisation of this result to proper groupoids and Banach algebras and deduce that the Bost assembly map is surjective for proper Banach algebras. On the way, we show that the spectral radius of an element in a C_0(X)-Banach algebra can be calculated from the spectral radius in the fibres.

研究の動機と目的

• コンパクト群およびC*-代数から、固有群コアおよびバナッハ代数へグリーン＝ジャルグ定理を拡張すること。
• バナッハ代数のためのV.ラフォルグの双変KK理論の文脈において、一般化されたグリーン＝ジャルグ同型を確立すること。
• 固有バナッハ代数に対してボストアセンブリーマップが分解可能全射であることを証明すること。これは従来、C*-代数に対してのみ知られていた結果である。
• C*-理論に依存せず、バナッハ代数的手法を用いてこの全射性の証明を非C*-代数的に行うこと。

提案手法

• ${\mathcal{R}}KK^{\text{ban}}$のカテゴリを用いて、${\mathcal{C}}_0(X)$-バナッハ代数のための一般化されたグリーン＝ジャルグ同型を定式化する。
• $B \rtimes_r {\mathcal{G}}$を、$\|f\|_{\mathcal{A}}$ が $|f(\gamma)|$ のみに依存する $C_c({\mathcal{G}})$ の無条件完備化 ${\mathcal{A}}({\mathcal{G}}, B)$ で置き換える。
• バナッハ代数の文脈における降下写像を扱うために、$\operatorname{{\mathcal{R}}KK}^{\text{ban}}$ の変種を導入する。
• $\mathcal{G}\backslash U$ が相対コンパクトとなる $G$-不変開集合 $U \subseteq \underline{E}{\mathcal{G}}$ における直接極限を用いて、${\mathcal{A}}({\mathcal{G}}, B)$ のK理論を分析する。
• コンパクト商からの同型の持ち上げと自然性を用いて、ボストアセンブリーマップ $\mu_{{\mathcal{A}}}^B$ の自然な分解 $\tau$ を構成する。
• $\mu_{{\mathcal{A}}}^B \circ \tau = \text{Id}$ を証明し、直接極限の議論とK理論の連続性を用いて、分解可能全射性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群およびC*-代数から、固有群コアおよびバナッハ代数へグリーン＝ジャルグ定理を一般化できるか？
• RQ2 係数がC*-代数ではなくバナッハ代数である場合、ボストアセンブリーマップは依然として全射のままであるか？
• RQ3 ボストマップの全射性の証明をC*-代数的技法に依存せずに実行できるか？
• RQ4 群コア、バナッハ代数、および完備化 ${\mathcal{A}}({\mathcal{G}})$ にどのような条件が課されると、一般化されたグリーン＝ジャルグ同型が成立するか？
• RQ5 $\mathcal{G}\backslash U$ が相対コンパクトとなる $G$-不変開集合 $U \subseteq \underline{E}{\mathcal{G}}$ における直接極限構造の下で、${\mathcal{A}}({\mathcal{G}}, B)$ のK理論はどのように分解されるか？

主な発見

• 一般化されたグリーン＝ジャルグ同型が成り立つ：$\operatorname{KK}^{\text{ban}}_{{\mathcal{G}}}({\mathcal{C}}_0(X), B) \cong \operatorname{{\mathcal{R}}KK}^{\text{ban}}({\mathcal{C}}_0(X/{\mathcal{G}}); {\mathcal{C}}_0(X/{\mathcal{G}}), {\mathcal{A}}({\mathcal{G}}, B))$ であり、これはややいびつな正則性条件のもとで成立する。
• ${\mathcal{A}}({\mathcal{G}})$ が正則でかつ切断関数をもつとき、固有${\mathcal{G}}$-バナッハ代数 $B$ に対してボストアセンブリーマップ $\mu_{{\mathcal{A}}}^B$ は分解可能全射である。
• 分解可能全射性は、$\mathcal{G}\backslash U$ が相対コンパクトとなる $G$-不変開集合 $U \subseteq \underline{E}{\mathcal{G}}$ における直接極限の議論によって確立される。
• マップ $\mu_{{\mathcal{A}}}^B$ の自然な分解 $\tau$ の構成は、直接極限におけるK理論の自然性と連続性に依存する。
• この結果は $\mathcal{A}(G) = L^1(G)$ 及びその対称化版に対しても成り立ち、これらは正則な無条件完備化である。
• 鍵となる技術的ステップは、$X$ が第二可算であるとき、$\mathcal{C}_0(X)$-バナッハ代数におけるスペクトル半径が $X$ 上のファイバーごとに計算できることを示すことである。