[論文レビュー] A generalised Joyce construction for a family of nonlinear partial differential equations

Simon Donaldson|ArXiv.org|May 1, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ジョイスの自己双対リーマン計量の構成を、滑らかで強凸な関数 ψ によって定まる、2次元における非線形4階偏微分方程式の広い族へ一般化する。非線形PDE (2)の局所解が、線形PDE (3)の解の対と1対1に対応することを示し、Legendre型変換を用いて方程式を線形化する。

ABSTRACT

We explain a simple construction of solutions to a family of PDE's in two dimensions which includes that defining zero scalar curvature Kahler metrics, with two Killing fields, and the affine maximal equation.

研究の動機と目的

• 2つのキリング場をもつ自己双対計量のドミニク・ジョイスの構成を、2次元における広範な非線形4階PDEのクラスへ拡張すること。
• Hessian行列式 J に対して ∫ψ(J)dx1dx2 の形をとる汎関数から導かれるEuler-Lagrange方程式が、局所的に線形PDEに還元可能であることを示すこと。
• 関数 ψ 及びその導関数を含む変換を通じて、非線形PDE (2)の解と線形PDE (3)の解との間の対応関係を確立すること。
• 既知の結果、例えばアフィン最大表面方程式（ψ(J) = J^{1/4}）を、この一般化された枠組みの特殊ケースとして回復できることを示すこと。
• この構成が、スカラー曲率が0の計量やリッチ平坦計量に関連するさまざまな幾何学的PDEを、同一の線形化機構の下に統一できることを示すこと。

提案手法

• 滑らかで凸な関数 u に対して、F = ∫ψ(J)dx1dx2 を定義し、J = det(u_ij) とおく。Euler-Lagrange方程式 (2)：∑∂²/∂xi∂xj(Jψ′(J)u^{ij}) = 0 を導出する。
• f(t) = t^{1/2}ψ′′(t) を定義し、その逆関数 r = f(J) を導入する。その後、逆写像下で p(r) = J^{-1/2} = r^{-1/2} とおく。
• 線形2階PDE (3)：∂²ξ/∂H² + (1/p(r)) ∂/∂r(p(r) ∂ξ/∂r) = 0 を構成する。ここで ξ は (H, r) の関数である。
• PDE (3)の2つの独立解 ξ₁, ξ₂ を用いて、閉1次形式 ε₁, ε₂ を定義し、ε = ξ₁ε₁ + ξ₂ε₂ を満たすようにする。局所的に ε₁ ∧ ε₂ ≠ 0 であることを保証する。
• 1次形式を積分して、2次元における元の非線形PDE (2)の解 u をもつ座標 x₁, x₂, u を得る。
• 逆の構成を示す：(2)の普通の点の近傍における任意の解は、この方法で得られ、ξ₁, ξ₂ はH-平行移動および定数項のずれを除いて一意的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョイスの自己双対計量の構成は、2次元におけるより広い非線形4階PDEのクラスへ一般化可能か？
• RQ2 Monge-Ampère型の非線形4階PDEが、どのような条件下で線形2階PDEに還元可能か？
• RQ3 ψ(J) の選択が、関連する線形PDE (3)の構造に及ぼす影響は何か？幾何的意味は何か？
• RQ4 非線形PDE (2)の解と、変換変数 (H, r) における調和関数との関係は何か？
• RQ5 アフィン最大表面方程式やスカラー曲率0の式といった既知の幾何学的PDEは、この一般化枠組みにどのように適合するか？

主な発見

• 非線形4階PDE (2) は局所的に線形2階PDE (3) と同値であり、(2)のすべての局所解が (3) の解から得られることを意味する。
• ψ(J) = -log J（ジョイスの元々のケース）の場合、線形PDE (3) はR³におけるラプラシアン方程式に帰着され、軸対称な調和関数に対応する。
• ψ(J) = J^{1/4} の場合、得られるPDEはR³におけるアフィン最大表面を記述し、この構成によりChern-Terngのパラメトライゼーションが調和関数を用いて再現される。
• 変換では ψ(J) = J^{1/4} のとき p(r) = r^{2} と定義され、式(13)は変数変換によりChern-Terngの1階系(12)を再現する。
• Trudinger-Wang方程式（ψ(J) = -J^α、0 < α < 1/2）の場合、対応する p(r) は r^{1/(1-2α)} となり、αに直接依存することが示される。
• この構成はユニモジュラーアフィン変換に対して不変であり、グラフのアフィン不変量として J^{1/4}dx1dx2 が得られる。