[論文レビュー] A Generalization of Birkhoff's Theorem for Distributive Lattices, with Applications to Robust Stable Matchings.

Tung Mai, Vijay V. Vazirani|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、部分順序における圧縮という概念を導入することで、分配的ラティスに対するBirkhoffの定理を一般化し、安定マッチング問題における部分ラティスの効率的同定を可能にしている。また、好みリストの摂動に対して強靭な安定マッチングを計算するためのアルゴリズムを提示しており、複数の摂動されたインスタンスにおいても安定性を保つ完全に強靭なマッチングを含む。

ABSTRACT

Birkhoff's theorem, which has also been called {\em the fundamental theorem for finite distributive lattices}, states that the elements of any such lattice $\cal L$ are isomorphic to the closed sets of a partial order, say $\Pi$. We generalize this theorem to showing that each sublattice of $\cal L$ is isomorphic to a distinct partial order that can be obtained from $\Pi$ via the operation of {\em compression}, defined in this paper. Let $A$ be an instance of stable matching, with $\cal L$ being its lattice of stable matchings, and let $B$ be the instance obtained by permuting the preference list of any one boy or any one girl. Let $\mathcal{M}_A$ and $\mathcal{M}_B$ be their sets of stable matchings. Our results are the following: - We show that $\mathcal{M}_A \cap \mathcal{M}_B$ is a sublattice of $\mathcal{L}$ and $\mathcal{M}_{A} \setminus \mathcal{M}_{B}$ is a semi-sublattice of $\mathcal{L}$. - Using our generalization of Birkhoff's Theorem, we give an efficient algorithm for finding the compression of $\Pi$ that is isomorphic to the lattice of $\mathcal{M}_A \cap \mathcal{M}_B$. - Given a polynomial sized domain $D$ of such errors (of permuting one of the preference lists), we give an efficient algorithm that checks if there is a stable matching for $A$ that is stable for each such resulting instance $B$. We call this a {\em fully robust stable matching}. - If yes, the set of all such matchings forms a sublattice of $\cal L$ and our algorithm finds its partial order as well. Using the latter, we can obtain a matching that optimizes (maximizes or minimizes) the weight among all fully robust stable matchings.

研究の動機と目的

• 有限な分配的ラティスに対するBirkhoffの基本定理を、部分順序における新しい圧縮操作を用いて部分ラティスへと拡張すること。
• あるエージェントの好みリストが置換された場合の安定マッチングの構造を分析し、元のインスタンスと摂動されたインスタンスの安定マッチングの共通部分が部分ラティスをなすことを示すこと。
• 元のインスタンスと摂動されたインスタンスの両方に共通する安定マッチングの部分ラティスに対応する部分順序を効率的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 与えられた多項式サイズの摂動された好みリストの集合に対して、完全に強靭な安定マッチング（すべての摂動されたインスタンスで安定であるもの）が存在するかを特定し、そのようなマッチングを効率的に計算すること。

提案手法

• 部分順序 Π における圧縮操作を導入し、元の分配的ラティスの任意の部分ラティスに同型な新しい部分順序を導出すること。
• 元のインスタンス A と、あるエージェントの好みリストが置換された摂動インスタンス B の両方に共通する安定マッチングの集合が、元のラティス L の部分ラティスをなすことを証明すること。
• 一般化されたBirkhoffの定理を用いて、部分ラティス M_A ∩ M_B に対応する圧縮された部分順序を効率的に計算すること。
• 摂動されたインスタンスの多項式サイズのドメインに対して、完全に強靭な安定マッチングが存在するかを確認する多項式時間アルゴリズムを設計すること。
• このようなマッチングが存在する場合、すべての完全に強靭なマッチングの集合が部分ラティスをなすこと、およびその生成部分順序を効率的に計算できることを示すこと。
• 計算された部分順序を活用して、与えられた重み関数（最大化または最小化）を最適化する完全に強靭なマッチングを特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分順序における新しい圧縮操作を用いて、分配的ラティスの部分ラティスを特徴付けるために、Birkhoffの定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 元の安定マッチングインスタンスと、1つの好みリストが置換されたインスタンスとの間の安定マッチングの共通部分のラティス的構造は何か？
• RQ3 好みリストの摂動後に生じる共通する安定マッチングの部分ラティスに対応する部分順序を効率的に計算するアルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 多項式サイズの好みリストの摂動の集合が与えられたとき、すべての結果インスタンスで安定性を保つ完全に強靭な安定マッチングが存在するかを効率的に判定できるか？
• RQ5 そのようなマッチングが存在する場合、すべての完全に強靭な安定マッチングの完全な部分ラティスを効率的に計算し、その上で最適化を行うことができるか？

主な発見

• 元のインスタンス A と、あるエージェントの好みリストが置換された摂動インスタンス B の間の安定マッチング M_A ∩ M_B は、元のラティス L の部分ラティスをなす。
• M_A ∖ M_B はラティス L の半部分ラティスをなしており、摂動下でのラティスの構造的分解を示している。
• 一般化されたBirkhoffの定理を用いて、部分ラティス M_A ∩ M_B に同型な圧縮された部分順序を効率的に計算するアルゴリズムが存在する。
• 任意の多項式サイズのドメイン D に対して、すべての摂動されたインスタンスで安定である完全に強靭な安定マッチングを効率的に特定できる。
• 完全に強靭な安定マッチングが存在する場合、そのすべてのマッチングの集合はラティス L の部分ラティスをなし、その生成部分順序も効率的に計算可能である。
• 計算された部分順序を用いることで、与えられた重み関数を最大化または最小化する完全に強靭なマッチングを最適化して特定できる。