[論文レビュー] A generalization of contact metric manifolds

J. H. Kim, JeongHyeong Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、接触計量多様体を一般化する新しいクラスのほぼ接触計量多様体、すなわち準接触計量多様体を導入し、その特徴づけを行う。このような多様体は、ほぼ複素構造の共変微分を含む特定の曲率条件によって定義され、接触計量多様体は、誘導されたテンソル場 h が対称であるような準接触計量多様体であることが示されている。

ABSTRACT

We give a characterization of a contact metric manifold as a special almost contact metric manifold and discuss an almost contact metric manifold which is {a} natural generalization of the contact metric manifolds introduced by Y. Tashiro.

研究の動機と目的

• 接触計量多様体の概念を、新しいクラスのほぼ接触計量多様体を導入することによって一般化すること。
• 接触計量多様体がより広いクラスの準接触計量多様体の中でどのように特徴づけられるかを確立すること。
• 接触計量多様体とより一般的な準接触計量構造とを区別する幾何学的および曲率的条件を調査すること。
• 錐多様体 M×R のほぼハルミート幾何と多様体 M のほぼ接触計量幾何との関係を明確にすること。

提案手法

• ほぼ複素構造 φ の共変微分を含む特定の曲率条件を満たすほぼ接触計量多様体として、準接触計量多様体を定義する。
• 多様体 M の幾何と錐多様体 M×R の幾何とを関連付けるために、ほぼハルミート構造 (J̄, ḡ) を持つ錐構成 M×R を用いる。
• 錐多様体上のほぼ複素構造 J̄ のニエンイユステンソルを用いて、元の多様体 M における条件を導出する。
• ニエンイユステンソルを分解し、可積分性を特徴づけるためにテンソル場 N^(1), N^(2), N^(3), N^(4) を導入し、それらを分析する。
• グレイとエルベラの分類枠組みを錐多様体に適用し、ほぼハルミート多様体のクラスとほぼ接触計量多様体のクラスとの関連を結ぶ。
• ∇ϕ とテンソル場 h を含む条件 (C₁) が、準接触計量多様体を完全に特徴づけることを証明し、接触計量多様体は h が対称であるような準接触計量多様体であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ接触計量多様体のクラスの中で、接触計量多様体の自然な一般化とは何か？
• RQ2 錐構成 M×R を用いることで、ほぼハルミート幾何とほぼ接触計量幾何との関係をどのように結ぶことができるか？
• RQ3 準接触計量多様体を特徴づける曲率条件は何か？
• RQ4 どのような条件下で、準接触計量多様体が接触計量多様体となるか？
• RQ5 (n≥2 の) (2n+1) 次元の準接触計量多様体で、接触計量多様体でないものはあるか？

主な発見

• 準接触計量多様体は、すべてのベクトル場 X,Y に対して、条件 (C₁): (∇_X φ)Y + (∇_{φX} φ)φY = 2g(X,Y)ξ - η(Y)X - η(X)η(Y)ξ - η(Y)hX を満たすことで特徴づけられる。
• 接触計量多様体は、テンソル場 h が対称であるような準接触計量多様体に限り、一致する。
• 条件 (C₁) は、テンソル場 h を明示的に含む条件 (C′₁) と同値であり、これにより曲率制約の幾何的解釈が得られる。
• 錐多様体のほぼ複素構造のニエンイユステンソルは、特にテンソル場 N^(1) から N^(4) を通じて、基本多様体の幾何を反映する成分に分解される。
• 次元が ≥5 の場合、準接触計量多様体のクラスは接触計量多様体のクラスを真に含み、存在の問いに肯定的に答えている。
• 次元 3 の場合、準ケーラー条件の剛性により、すべての準接触計量多様体は必然的に接触計量多様体である。