[論文レビュー] A Generalization of Fulton-MacPherson Configuration Spaces

Bumsig Kim, Fumitoshi Sato|ArXiv.org|Jun 24, 2008

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異点のない多様体 $ X $ における $ n $ 個の相異なるラベル付き点の配置空間について、特異点のない部分多様体 $ D $ を除いた場合の一般化された素晴らしいコンパクト化を導入する。対角線および部分多様体 $ D_{c,S} $ を繰り返しブ low up することにより、著者たちは $ X_D^{[n]} $ と $ X_D[n] $ を構成し、両者が特異点のない多様体であり、境界除数が横断的に交わることを証明している。これは $ D = \emptyset $ の場合に Fulton-MacPherson 空間が一般化されるものである。この構成は、相対的写像のモジュライの根幹をなす、安定退化の普遍族を提供する。

ABSTRACT

Presented is a wonderful compactification of n distinct labeled points in X away from D, where X is a nonsingular variety and D is a nonsingular proper subvariety. When D is empty, it is the Fulton-MacPherson configuration space.

研究の動機と目的

• $ X \setminus D $ 内の $ n $ 個のラベル付き点のコンパクト化 $ X_D^{[n]} $ を構成すること。このとき、点が $ D $ に近づくことは許されない。
• $ X \setminus D $ 内の $ n $ 個の相異なるラベル付き点のコンパクト化 $ X_D[n] $ を構成すること。このとき、点が衝突したり $ D $ に近づいたりすることは許されない。
• Fulton-MacPherson の配置空間を $ D $ を組み込むことで一般化し、相対的設定にその構造を拡張すること。
• $ X_D^{[n]} $ および $ X_D[n] $ が特異点のない多様体であり、境界除数が横断的に交わることを確立し、安定退化の普遍族を定義すること。

提案手法

• $ X_D^{[n]} $ を、$ X^n $ と $ D_{c,S} $ に沿った繰り返しブローアップの積への閉包として定義する。ここで $ D_{c,S} $ は、$ S $ でラベル付けされた点が成分 $ D_c $ に存在する点の集合である。
• $ X_D[n] $ を、$ X_D^{[n]} $ と $ |I| \geq 2 $ の対角線 $ \widetilde{\Delta}_I $ の正確な逆像に沿ったブローアップの積への閉包として定義する。
• 特定の順序で繰り返しブローアップを行う：まず $ D_{c,S} $ に沿って、次に $ \widetilde{\Delta}_I $ に沿って。これにより境界除数の横断的交わりが保証される。
• L. Li の素晴らしいコンパクト化の一般論を適用し、特異点のない性質と境界成分の横断的交わりを証明する。
• インデックス集合 $ S_i $ と $ I_j $ のネストされた集合の概念を用いて、境界除数の非空交わりを特徴付ける。
• 普遍族 $ X_D^{[n]+} \to X_D^{[n]} $ および $ X_D[n]^+ \to X_D[n] $ を用いて、$ D $ から離れた $ n $ 個のラベル付き点を持つ $ X $ の安定退化を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$ D $ に近づくことが禁止された $ X \setminus D $ 内の $ n $ 個のラベル付き点の配置空間のコンパクト化を構成できるか？
• RQ2 境界除数が横断的に交わることを保証する条件は何か？
• RQ3 $ D = \emptyset $ の場合、この構成は Fulton-MacPherson 空間をどのように一般化するか？
• RQ4 $ X_D[n] $ 上の普遍族の幾何的構造は何か？ そして、安定退化をどのようにパラメトライズするか？
• RQ5 $ X_D[n]^+ $ のファイバーを用いて、安定相対写像のモジュライ空間を構成できるか？

主な発見

• $ X_D^{[n]} $ は特異点のない多様体であり、$ n $ 個のラベル付き点が $ D $ から離れている $ X $ の安定退化の普遍平坦族を有する。
• $ X_D^{[n]} $ の境界は除数 $ \widetilde{D}_{c,S} $ の和集合であり、それらの交わりが横断的であることは、対応するインデックス集合がネストされていることと同値である。
• $ X_D[n] $ は特異点のない多様体であり、$ X_D[n]^+ \to X_D[n] $ という普遍族を有し、$ n $ 個の相異なるラベル付き点が $ D $ から離れている安定退化をパラメトライズする。
• $ X_D[n] $ の境界は除数 $ \widetilde{D}_{c,S} $ と $ \widetilde{\Delta}_I $ から成り、それらの交わりが非空かつ横断的であるのは、そのすべての集合がネストされているときである。
• $ D = \emptyset $ のとき、$ X_D[n] $ は古典的な Fulton-MacPherson コンパクト化 $ X[n] $ を回復する。
• この構成は、安定相対写像および安定（非）分岐写像を研究する自然な枠組みを提供し、モジュライ理論への応用がある。