[論文レビュー] A Generalization of Golab's Theorem and Applications to fracture mechanics

Alessandro Giacomini|ArXiv.org|Jan 16, 2002

Numerical methods in engineering参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、破壊力学における異方的・非一様な表面エネルギー関数へのゴラーブの定理（ハウスドルフ測度の下半連続性）の一般化を行う。線形弾性体における反平面および平面せん断の下で、時間離散化による最小化を用いて、準静的な破壊進化の存在および収束を確立し、関数 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ に対する新しい下半連続性結果を用いて、弾性エネルギーおよび表面エネルギーの強い収束を証明する。主な貢献は、異方的かつ非一様な材料特性を有する破壊成長を厳密に数学的に定式化するフレームワークを確立することにある。

ABSTRACT

We study the lower semicontinuity for functionals defined on compact sets in R^2 with a finite number of connected components and finite length which depend on their normal vector. We apply the result to the study of quasi-static growth of brittle fractures in linearly elastic inhomogeneous and anisotropic bodies.

研究の動機と目的

• 準静的な破壊成長の数学的定式化を、非一様かつ異方的な線形弾性材料へと拡張すること。
• コンパクト集合上で $\mathcal{H}^1$-測度が有限で、有限個の成分を持つ場合に、関数 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ の下半連続性を確立すること。
• 定常性およびエネルギー連続性の条件下で、時間離散化近似が準静的破壊進化問題の解に収束することを証明すること。
• 異方的表面エネルギーおよび非一様な体積エネルギー密度を有する状況下で、反平面および平面せん断変形を同時に取り扱うこと。

提案手法

• 時間間隔 $[0,1]$ を部分に分割し、各ステップで前回のクラック配置を制約として満たす最小化問題を逐次解く時間離散化スキームを採用する。
• $\mathcal{G}(g,K) = \|Eu\|_A^2 + \int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ を $K \in \mathcal{K}_m^f(\overline{\Omega})$ に対して最小化し、$K_{i-1}^\delta \subseteq K$ を満たすことで、クラック成長の不可逆性を保証する。
• コンパクト性および下半連続性の議論を用いて、コンパクト集合列のハウスドルフ収束に基づき、最小解の存在を確立する。
• 関数 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ に対する新しい下半連続性定理を用いて、離散近似の収束を証明する。この定理はゴラーブの定理を一般化する。
• エネルギー推定およびコンパクト性を用いて、$L^2(\Omega, \text{M}^{2\times 2}_{\rm sym})$ 内で歪み場 $Eu^\delta(t) \to Eu(t)$ の強い収束を確立する。
• 新しい下半連続性結果および一様な有界性を用いて、表面エネルギー項 $\int_{K^\delta(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1 \to \int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合上で $\mathcal{H}^1$-測度が有限で、有限個の成分を持つ場合に、異方的かつ非一様な $\varphi$ に対して、関数 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ の下半連続性を確立できるか？
• RQ2 定常性およびエネルギー連続性の下で、時間離散化最小化スキームが準静的破壊進化問題の解に収束するか？
• RQ3 非一様かつ異方的な弾性材料の状況下で、体積エネルギーおよび表面エネルギーの両項の収束を厳密に証明できるか？
• RQ4 これまでの均一的・等方的設定における結果を、より一般的な材料挙動へとどのように拡張できるか？
• RQ5 非正則なコンパクト集合上での表面エネルギーを定義する際、近似法の法線ベクトル $\nu_x$ の役割は何か？

主な発見

• ゴラーブの定理の一般化を証明した：関数 $K \mapsto \int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ は、$\varphi$ が異方的・非一様的かつ法線変数に関して 1-斉次であっても、$\mathcal{K}_m^f(\overline{\Omega})$ 上でハウスドルフ収束に関して下半連続である。
• 時間離散化最小化スキームにより、近似列 $K^\delta(t)$ が $\delta \to 0$ の下でハウスドルフ距離で極限 $K(t)$ に収束し、準静的破壊進化の存在が保証される。
• $L^2(\Omega, \text{M}^{2\times 2}_{\rm sym})$ 内で歪み場 $Eu^\delta(t)$ が $Eu(t)$ に強く収束し、体積弾性エネルギーの収束が保証される。
• 表面エネルギー項 $\int_{K^\delta(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ が $\int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ に収束する。これは、$\varphi \equiv 1$ の等方的ケースに対しても、破壊長の収束を拡張するという、新たな結果である。
• 全エネルギー $\mathcal{G}(t) = \|Eu(t)\|_A^2 + \int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ は時間に関して連続であり、離散近似はエネルギーおよび幾何学的構造の両面で真の解に収束する。