[論文レビュー] A generalization of Gordon's theorem and applications to quasiperiodic Schrödinger operators

David Damanik, Günter Stolz|arXiv (Cornell University)|May 12, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Gordonの定理が1次元シュレーディンガー作用素に対する固有値の不在を示すのを一般化し、一般化されたGordonポテンシャルのための新しい$L^1$-基盤の基準を導入する。解に関するGronwall型の事前推定を用いて、Liouville頻度とさまざまな関数（ Hölder連続、段階関数、またはパワー特異関数など）によって生成される準周期的ポテンシャルが、空の点スペクトルを持つ作用素を生じることを証明する。これにより、古典的結果を超えて固有値排除の適用範囲が拡張される。

ABSTRACT

We prove a criterion for absence of eigenvalues for one-dimensional Schrödinger operators. This criterion can be regarded as an $L^1$-version of Gordon's theorem and it has a broader range of application. Absence of eigenvalues is then established for quasiperiodic potentials generated by Liouville frequencies and various types of functions such as step functions, Hölder continuous functions and functions with power-type singularities. The proof is based on Gronwall-type a priori estimates for solutions of Schrödinger equations.

研究の動機と目的

• Gordonの定理の古典的固有値排除基準を、不連続および特異関数を含むより広いクラスのポテンシャルへ一般化すること。
• Liouville頻度によって生成される準周期的ポテンシャルを有する1次元シュレーディンガー作用素のスペクトル理論を扱うこと。
• 局所的に可積分で一様有界なポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素における点スペクトルの不在を示す一般枠組みを確立すること。
• パワー型特異性、段階関数、Hölder連続関数を含むポテンシャルに対して、準周期的設定下で一様な基準を提供すること。

提案手法

• ポテンシャルとその周期的近似との差に$L^1$-ノルム条件を課すことにより、一般化されたGordonポテンシャルの概念を導入する。
• 解の成長を無限遠で制御するため、シュレーディンガー方程式の解に関するGronwall型の事前推定を確立する。
• 形式的手法によるシュレーディンガー作用素の定義可能性を保証するため、$\|V\|_{1,{\rm unif}}<\infty$ の一様可積分性条件を用いる。
• 周波数$\alpha$の連分数近似$\alpha_m = p_m/q_m$に基づく周期的近似$V^{(m)}$を定義し、$\exp(Cq_m)\cdot\int_{-q_m}^{2q_m}|V(x\alpha+\theta)-V(x\alpha_m+\theta)|dx \to 0$（$m\to\infty$ で）を要請する。
• 解の推定を適用して、$L^2$-解が無限遠で減衰することはできないことを示し、固有値の不在を示す。
• $\alpha$ がLiouville数であるとき、$V_2$ がHölder連続、段階関数、またはパワー型特異性を有する場合に、条件が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Gordon定理は、不連続または特異関数を含むポテンシャルへ一般化可能か？
• RQ2 Liouville頻度と滑らかでないポテンシャルを有する準周期的シュレーディンガー作用素に対しても、固有値の不在は維持されるか？
• RQ3 ポテンシャル$V_2$にどのような条件を課すと、準周期的ポテンシャル$V(x) = V_1(x) + V_2(x\alpha + \theta)$が一般化されたGordonポテンシャルとなるか？
• RQ4 $L^1$-基盤の基準は、$|x|^{-\gamma}$特異性を有する有界でないポテンシャルに対しても固有値を排除できるか？
• RQ5 周波数$\alpha$の連分数近似$\alpha_m = p_m/q_m$は、一般化された固有値排除条件における収束速度にどのように影響するか？

主な発見

• 一般化されたGordonポテンシャル基準により、$V$ が周期的ポテンシャル$V^{(m)}$との$L^1$-近似条件を満たす場合、シュレーディンガー作用素$H = -d^2/dx^2 + V(x)$は空の点スペクトルを持つ。
• 任意のLiouville頻度$\alpha$に対して、$\lim_{m\to\infty} \exp(Cq_m) \int_{-q_m}^{2q_m} |V_2(x\alpha+\theta) - V_2(x\alpha_m+\theta)| dx = 0$ が成り立てば、固有値は存在しない。
• Hölder連続関数$V_2$は、$\delta$-Hölder連続性モジュラスにより満たす。これは$\int_0^1 \mathrm{osc}_{V_2,\varepsilon}(x)dx \leq D\varepsilon^\delta$ を保証する。
• 段階関数も条件を満たす。ジャンプの大きさと区間長がオscillationを制御し、$\mathrm{osc}_{V_2,\varepsilon} \leq C\varepsilon^0$ だが、$\exp(Cq_m)$の減衰の下で依然として可積分である。
• パワー型特異性$V_2(x) = |x|^{-\gamma}$（$0 < \gamma < 1$）を有するポテンシャルは、特異点近辺での$L^1$-差の制御された増加により条件を満たす。$\int_{-q_m}^{2q_m} |V_2(\alpha x) - V_2(\alpha_m x)| dx \leq C p_m^{2-\gamma} |\alpha q_m/p_m - 1|^{1-\gamma}$ であり、十分に速く減衰する。
• 結果はすべての$\theta \in [0,1)$に対して成り立つため、準周期的ポテンシャルにおける位相シフトに対して固有値排除のロバストネスが示された。