[論文レビュー] A generalization of Griffiths theorem on rational integrals, III: a variant of Wotzlaw conjecture

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、通常の二重点を持つ超曲面の補集合のコホロジーに対するホッジフィルトレーションのgraded quotientに関するL. Wotzlawの予想の変種を証明する。GriffithsおよびSteenbrinkの結果を特異な場合に拡張し、Steenbrinkおよび極位相スペクトルの明示的公式を確立し、この設定における極位相スペクトル系列の構造を完全に特定する。

ABSTRACT

Let Y be a hypersurface in projective space having only ordinary double points as singularities. We prove a variant of a conjecture of L. Wotzlaw on an algebraic description of the graded quotients of the Hodge filtration on the top cohomology of the complement of Y except for certain degrees of the graded quotients, as well as its extension to the Milnor cohomology of a defining polynomial of Y for degrees a little bit lower than the middle. These partially generalize theorems of Griffiths and Steenbrink in the Y smooth case, and enable us to determine the structure of the pole order spectral sequence. We then get quite simple formulas for the Steenbrink and pole order spectra in this case, which cannot be extended even to the simple singularity case easily.

研究の動機と目的

• 有理積分に関するGriffithsおよびSteenbrinkの結果を、通常の二重点を持つ超曲面に一般化すること。
• 特定の次数を除き、このような超曲面の補集合のコホロジーに対するホッジフィルトレーションのgraded quotientの代数的記述を提供すること。
• 中間次数のわずかに下の次数において、定義多項式のミルナー・コホロジーにまでこれらの結果を拡張すること。
• この特異な設定における極位相スペクトル系列の構造を特定すること。
• 通常の二重点の場合のSteenbrinkおよび極位相スペクトルの単純かつ明示的な公式を導出すること。

提案手法

• 通常の二重点のみをもつ超曲面の補集合の上位コホロジーにおけるホッジフィルトレーションを分析する。
• 混合ホッジ理論および双対性の技術を用いて、ホッジフィルトレーションのgraded quotientを代数的に記述する。
• 極位相スペクトル系列の詳細な解析を通じて、滑らかである場合の結果（Griffiths, Steenbrink）を特異な超曲面に拡張する。
• 定義多項式のミルナー・コホロジーを用いて、中間次数のわずかに下の次数へ結果を拡張する。
• 極位相スペクトル系列の収束性および構造を確立し、スペクトルの明示的計算を可能にする。
• 特異点の型および次数に基づいて、Steenbrinkおよび極位相スペクトルの閉形式の表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常の二重点を持つ超曲面の補集合のコホロジーに対するホッジフィルトレーションのgraded quotientは、どのように代数的に記述できるか？
• RQ2 GriffithsおよびSteenbrinkの有理積分に関する結果は、どの程度特異な超曲面へ一般化可能か？
• RQ3 このような超曲面における極位相スペクトル系列の構造は何か？ また、中間付近の次数ではどのように振る舞うか？
• RQ4 通常の二重点の場合に、Steenbrinkおよび極位相スペクトルの明示的公式を導出できるか？
• RQ5 なぜこれらの公式は、単純な特異点のケースでさえも容易に拡張できないのか？

主な発見

• 本稿は、通常の二重点を持つ超曲面の場合に、特定の次数を除き、Wotzlawの予想の変種をホッジフィルトレーションのgraded quotientに対して証明する。
• この結果は、中間次数のわずかに下の次数における定義多項式のミルナー・コホロジーへgraded quotientの記述を拡張する。
• この設定において、極位相スペクトル系列の構造が完全に特定され、明示的な計算が可能になる。
• 通常の二重点の場合に、Steenbrinkおよび極位相スペクトルの両方について、単純かつ明示的な公式が導出される。
• これらの公式は、単純な特異点のケースへ容易に拡張できないことから、重要な制限が浮き彫りになる。