[論文レビュー] A generalization of Ostrowski type inequality for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ and applications

Ather Qayyum, Ibrahima Faye+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、第二階微分が $L_1(a,b)$ に属する関数に対して、Ostrowski型不等式を一般化し、中点則と台形則を統合・拡張するパラメータ $h$ を含む新しい不等式を導入する。主な貢献は、台形則および中点則を用いた数値積分における鋭い誤差境界の確立であり、特殊平均や改善された剰余項推定への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we will improve and generalize inequality of Ostrowski type for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ . Some well known inequalities can be derived as special cases. In addition, perturbed mid-point inequality and perturbed trapezoid inequality are also obtained. The obtained inequalities have immediate applications in numerical integration where new estimates are obtained for the remainder term of the trapezoid and midpoint formula. Applications to some special means are also investigated.

研究の動機と目的

• 第一階微分が有界である必要がない代わりに、第二階微分が $L_1(a,b)$ に属する関数に対して、既存のOstrowski型不等式を一般化すること。
• 中点則と台形則の間を補間するパラメータ $h$ を含む統一的な不等式を導出すること。
• $\|f''\|_1$ を用いた明示的な誤差境界をもつ、中点則および台形則の摂動版を確立すること。
• 特に、べき平均、調和平均、対数平均などの特殊平均に対する新しい推定値を導出すること。
• 合成則のためのよりタイトな剰余項境界を提供することにより、数値積分における誤差推定値を改善すること。

提案手法

• 第二階微分が $L_1$-ノルムで有界である関数に対して、部分積分と $L_1$-ノルムの性質を用いて、新しいOstrowski型不等式を導出する。
• $h \in [0,1]$ を導入し、標準の中点則と台形則の間を補間することで、一般化された誤差表現を可能にする。
• 恒等式 $f(x) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt + \text{誤差項}$ を用い、誤差項を $\|f''\|_1$ を用いて評価する。
• 特定の写像（$f(x) = x^r$、$f(x) = 1/x$、$f(x) = \ln x$）に適用することで、特殊平均に関する不等式を導出する。
• $f'(a)$、$f'(b)$、および $h$ を含む補正項を標準公式に加えることで、摂動中点則および台形則を確立する。
• 局所誤差推定 $\frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$ を用いて、$n$ 分割の合成則に対する誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階微分が有界である必要がない関数に対して、第二階微分が $L_1(a,b)$ に属する場合のOstrowski型不等式をどのように一般化できるか？
• RQ2 第二階微分が $L_1(a,b)$ に属する場合、摂動中点則および台形則の最適誤差境界は何か？
• RQ3 一般化された不等式を用いて、算術平均、幾何平均、調和平均、対数平均などの特殊平均に関する新しい不等式を導出できるか？
• RQ4 新しい誤差境界は、古典的境界と比較して、数値積分における鋭さと適用可能性においてどのように優れているか？
• RQ5 パラメータ $h$ は、一般化された不等式において中点則と台形則の寄与をどのようにバランスさせるか？

主な発見

• 本稿は、$f \in C^2[a,b]$ かつ $f'' \in L_1(a,b)$ を満たす関数に対して、$x \in [a + h\frac{b-a}{2}, b - h\frac{b-a}{2}]$ に対して有効な新しい一般化されたOstrowski型不等式を確立し、誤差境界が $\left[\frac{1}{2}(b-a)(1-h) + |x - \frac{a+b}{2}|\right]^2 \|f''\|_1$ に比例することを示した。
• 摂動台形則に対しては、剰余項が $|R_T| \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$ を満たし、古典的推定値を改善した。
• 摂動中点則に対しては、剰余項が $\frac{1}{8}(b-a)^2(1-h)^2\|f''\|_1$ で抑えられ、$h=0$ のとき $\frac{1}{8}(b-a)^2\|f''\|_1$ に簡略化される。
• 関数 $f(x) = x^r$ に適用すると、$|A^r - L_r^r(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 |r(r-1)L_{r-1}^{r-1}(a,b)|$ が得られ、べき平均に対する新しい境界が得られる。
• $f(x) = \frac{1}{x}$ に適用すると、$|A^{-1} - L^{-1}(a,b)| \leq \frac{1}{4}(b-a)^2 L_{-3}^{-3}(a,b)$ が得られ、調和平均に対する新しい推定値が得られる。
• $f(x) = \ln x$ に適用すると、$|\ln A - \ln I(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 L_{-2}^{-2}(a,b)$ が得られ、$\left|\frac{A}{I}\right| \leq \exp\left(\frac{(b-a)^2}{8}L_{-2}^{-2}(a,b)\right)$ を示唆する。