[論文レビュー] A generalization of product construction of multimagic squares

Yong Zhang, Kejun Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対角ラテン平方とクロネッカー積を用いて、多魔方陣の積構成を一般化し、新たな双魔方陣および三魔方陣の族の構成を可能にする。主な貢献は、固定されたブロック行列の代わりに構造化された一般t-多魔方陣を用いる、新たな構成法の提案であり、従来の合成多魔方陣生成法を拡張することで、特に2 mod 4に合同な次数において、これまでアクセス不可能であった無限族の双魔方陣および三魔方陣を生成可能にする。

ABSTRACT

In this paper, constructions of multimagic squares are investigated. Diagonal Latin squares and Kronecker products are used to get some constructions of multimagic squares. Consequently, some new families of compound multimagic squares are obtained.

研究の動機と目的

• 標準のクロネッカー積フレームワークを超えて、多魔方陣の積構成を一般化すること。
• 従来の手法によって通常除外される、2 mod 4に合同な次数における双魔方陣および三魔方陣の構成のギャップを埋めること。
• 魔方陣の構造的分割を用いて、多魔方陣の存在に関する新たな十分条件を確立すること。
• 直交対角ラテン平方と合成積技術を用いて、既知の双魔方陣および三魔方陣の構成を、より大きなおよび多様な次数にまで拡張すること。

提案手法

• ブロック行列 $ J_{m\times m} \bigotimes B $ を、各ブロック $ B_{u,v} $ が MS($ n,t-1 $) である、一般化された $ t $-多魔方陣 $ \tilde{\mathcal{B}} $ に置き換えた一般化された積構成（PGMS($ mn,t $)）を導入する。
• 新しい積 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $ を定義し、ここで $ A $ は MS($ m,t $)、$ \tilde{\mathcal{B}} $ は PGMS($ mn,t $) であり、結果が MS($ mn,t $) であることを保証する。
• 直交対角ラテン平方を用いて、必要な PGMS($ mn,t $) ブロックを構成し、このようなペアが存在する条件は $ n \notin \{2,3,6\} $ であることを活用する。
• クロネッカー積構造を用いて、すべての $ e = 1,2,\dots,t $ に対して多魔方陣性質が保持されることを保証し、$ c_{i,j}^e $ の各行、各列、および対角線の和が期待される魔数 $ S_e(mn) $ と一致することを確認する。
• この構成を再帰的に適用し、既知の双魔方陣および三魔方陣の結果（例えば Boyer のウェブサイト や Chen-Li の結果）を組み合わせることで、新しい次数における存在性を拡張する。
• $ A $ が MS($ m,2 $) で $ \tilde{\mathcal{B}} $ が PGMS($ mn,2 $) である場合、$ A * B $ は MS($ mn,2 $) であることが示され、$ mn \equiv 2 \pmod{4} $ となる双魔方陣の構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準の多魔方陣の積構成は、$ J_{m\times m} \otimes B $ を超えるより柔軟なブロック構造を含めるように一般化可能か？
• RQ2 $ J_{m\times m} \otimes B $ を、構造化された分割 $ t $-多魔方陣 $ \tilde{\mathcal{B}} $ に置き換えることで、多魔方陣性質が保持されるか？
• RQ3 この一般化された構成は、従来の手法によって通常除外される、$ n \equiv 2 \pmod{4} $ となる次数における双魔方陣および三魔方陣を生成可能か？
• RQ4 $ t \geq 2 $ のとき、$ m $ と $ n $ にどのような条件を課すと PGMS($ mn,t $) の存在が保証されるか？
• RQ5 既存の双魔方陣および三魔方陣の族は、この一般化された積を用いて、新しい合成次数にまで拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、$ A $ が MS($ m,t $) で $ \tilde{\mathcal{B}} $ が PGMS($ mn,t $) である場合、一般化された積 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $ が MS($ mn,t $) であることを証明し、標準の積構成を一般化する。
• 双魔方陣の場合、構成により $ mn \in \Omega_4 = \{ mn \mid 8 \leq m \leq 64, m \equiv 2 \pmod{4}, n \geq 5, n \text{ 奇数} \} $ に対して新しい MS($ mn,2 $) の族が得られ、2 mod 4に合同な次数（従来はアクセス不可能であった）を含む。
• $ n \notin \{2,3,6\} $ のとき、$ n $ 階の直交対角ラテン平方のペアの存在が、PGMS($ mn,2 $) の構成を可能にする。これは、新しい双魔方陣を生成するために不可欠である。
• 三魔方陣の場合、$ m \in \{12,24,40\} \cup \{2^l \mid l \geq 4\} $ かつ $ n \in \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \Omega_3 \cup \Omega_4 $ であるならば、MS($ mn,3 $) の存在が確立され、既知の三魔方陣の族が拡張される。
• 本構成は、魔方陣の補完性を活用する。$ t $ が偶数であるとき、$ A $ が MS($ n,t $) であれば、$ B = (n^2-1)J_{n\times n} - A $ も MS($ n,t $) である。この性質により、$ l \geq 1 $ に対して $ 2l $-SCMS($ n,t $) を構成可能となり、これらが構築の基本構成要素として用いられる。
• 本手法は、特に $ mn \equiv 2 \pmod{4} $ となる次数に対して、従来の標準的積構成法では除外されていた、新たな無限族の双魔方陣および三魔方陣を効果的に生成する。これは、文献における空白を埋めることに成功している。