[論文レビュー] A generalization of Ramsey theory for stars and one matching

Amir Khamseh, Gholamreza Omidi|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、極値的グラフ理論とVizingの定理を用いて、t-辺彩色完全グラフにおいてs個の単色星または1つのマッチングを保証するために必要な最小頂点数を特定することにより、ラムゼー型問題を一般化する。主な結果は、星と1つのマッチングを含む構成におけるd-彩色ラムゼー数 r_{t-1}^t の正確な公式を、sおよび星のサイズに関するさまざまな条件下で提示する。

ABSTRACT

A recent question in generalized Ramsey theory is that for fixed positive integers $s\leq t$, at least how many vertices can be covered by the vertices of no more than $s$ monochromatic members of the family $\cal F$ in every edge coloring of $K_n$ with $t$ colors. This is related to {$d$-chromatic Ramsey numbers} introduced by Chung and Liu. In this paper, we first compute these numbers for stars generalizing the well-known result of Burr and Roberts. Then we extend a result of Cockayne and Lorimer to compute $d$-chromatic Ramsey numbers for stars and one matching.

研究の動機と目的

• 古典的ラムゼー理論を一般化し、単色星およびマッチングに関する結果をt色辺彩色完全グラフへ拡張すること。
• d = t-1 の場合に、星と1つのマッチングを含む族に対する d-彩色ラムゼー数 r_{t-1}^t(G_1,…,G_t) を計算すること。
• マッチングのサイズおよび星のサイズに関する異なる制約下でのラムゼー数に対するタイトな上界および下界を確立すること。
• Burr, Roberts, Cockayne, および Lorimer の先行結果を一般化ラムゼー数の文脈で統合および拡張すること。

提案手法

• 極値的グラフ理論を用いて、星 K_{1,m_i} を避ける辺の数を制限し、不等式 ex(p, K_{1,m}) ≤ p(m-1)/2 を活用する。
• 鳩の巣原理に基づく彩色の議論を適用：すべての色について (m_i - 1) の和が大きい場合、残りの t-1 色のうちの1つの色クラスが星を含むことになる。
• Vizingの定理を用いて、t-1色でサブグラフの辺彩色を構成し、制御された次数を確保するとともに単色星を避ける。
• 頂点集合の分割と辺への色の慎重な割り当てを用いて、K_n の明示的彩色を構築し、下界を達成する。
• 帰納法と再帰的削減を用い、r_{t-1}^t を r_{t-2}^{t-1} に結びつけることで、問題をより小さいケースに簡略化する。
• t-1色の和集合における最大マッチングを分析し、頂点次数がしきい値を超えると矛盾が生じることを示し、必要な部分グラフの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-辺彩色完全グラフにおいて、s個の単色星またはt-1色の和集合に1つのマッチングを保証するために必要な最小頂点数は何か？
• RQ2 星の代わりにマッチングが1つに置き換わった場合、d-彩色ラムゼー数 r_{t-1}^t(K_{1,m_1},…,K_{1,m_t}) はどのように振る舞うか？
• RQ3 ラムゼー数が 2s、R_{t-1}、または (⌈(∑ + s)/(t-1)⌉) + 1 に等しくなるのはどのような条件下か？
• RQ4 ラムゼー数の境界は、星の総サイズおよびマッチングのサイズにどのように依存するか？
• RQ5 d = t-1 で、星と1つのマッチングを含む族を持つt彩色において、一般化ラムゼー数を正確に決定できるか？

主な発見

• t-1個の星と1つのマッチングを含む d-彩色ラムゼー数 r_{t-1}^t は、2s ≥ R_{t-1} のとき、R = R_{t-1} に正確に等しい。ここで R_{t-1} は t-1色でt-1個の星のラムゼー数である。
• 2s < R_{t-1} で、i について (m_i - 1) の和が (2t - 3)s - t + 2 より小さいとき、ラムゼー数は正確に 2s に等しい。
• 2s < R_{t-1} で、∑ ≥ (2t - 3)s - t + 2 のとき、ラムゼー数は R = ⌈(∑ + s)/(t - 1)⌉ + 1 に正確に等しい。
• 本稿は、d = t-1 のt彩色において、sと星のサイズの相対的大きさに応じて、ラムゼー数の完全な分類を提示する。
• 結果は、d=1 の星に関する既知の結果を一般化し、Cockayne-Lorimer定理を d = t-1 のt彩色に拡張する。
• Vizingの定理と頂点の分割を用いた極値彩色の構築により、上界のタイトさが証明され、正確な値が確立される。