[論文レビュー] A Generalization of Schur's $P$- and $Q$-Functions

Soichi Okada|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多項式列を用いた一般化された枠組みを導入し、マクドナルドの第9変種を対称関数へと拡張することで、シュールの $P$-関数および $Q$-関数を一般化する。Pfaffianおよび線形代数的手法を用いて、コーシー型、ピエリ型、ジョゼフィアク–プラガツ–ニムモの公式といった基本的恒等式を確立し、古典的根系におけるシュール $P$-関数、イワノフの階乗 $P$-関数、$t=-1$ のハリ・リトルウッド関数といった特殊ケースを統一する。

ABSTRACT

We introduce and study a generalization of Schur's $P$-/$Q$-functions associated to a polynomial sequence, which can be viewed as ``Macdonald's ninth variation'' for $P$-/$Q$-functions. This variation includes as special cases Schur's $P$-/$Q$-functions, Ivanov's factorial $P$-/$Q$-functions and the $t=-1$ specialization of Hall--Littlewood functions associated to the classical root systems. We establish several identities and properties such as generalizations of Schur's original definition of Schur's $Q$-functions, Cauchy-type identity, Józefiak--Pragacz--Nimmo formula for skew $Q$-functions, and Pieri-type rule for multiplication.

研究の動機と目的

• 多項式列に基づくシュールの $P$-および $Q$-関数の一般化枠組みを構築し、マクドナルドの第9変種を拡張する。
• シュール $P$-関数、イワノフの階乗 $P$-関数、古典的根系における $t=-1$ のハリ・リトルウッド関数といった既知の特殊ケースを統一する。
• 一般化された $P$-関数に対して、コーシー型、スケュー関数の公式、ピエリ則といった基本的恒等式を確立する。
• Pfaffianおよび行列恒等式を用いた線形代数的基盤を提供し、$P$-関数のニムモ型公式を一般化する。
• 双対 $P$-関数への理論の拡張を図り、一般化されたシュール関数とその双対関数を含むコーシー型恒等式を証明する。

提案手法

• 多項式列 $\boldsymbol{Τ} = \{f_d\}_{d=0}^\infty$ を用い、$f_0(t) = 1$ かつ $\deg f_d = d$ を満たすものとし、$d \geq 1$ で $f_d(0) = 0$ となる定数項なしの列も考察する。
• スケュー対称行列を $A(\boldsymbol{x})$ と $V^{\boldsymbol{Τ}}_{\boldsymbol{\nu}}(\boldsymbol{x})$ から構成し、その Pfaffian 公式を用いて一般化された $P$-関数 $P^\boldsymbol{\frak{F}}_{\boldsymbol{\nu}}(\boldsymbol{x})$ を定義する。
• Sylvester型およびラプラス展開の類似である Pfaffian 恒等式を適用し、一般化された $P$-関数の構造的性質を導出する。
• 生成関数と $\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})$、$\widetilde{\Pi}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})$ を含む Pfaffian 行列式を関連付けることで、コーシー型恒等式を確立する。
• Pfaffian 展開および行列分解技術を用いて、スケュー一般化 $P$-関数のジョゼフィアク–プラガツ–ニムモの公式を導出する。
• 一般化された $P$-関数と単一の行を持つ $P$-関数の積に対してピエリ型則を証明し、$P^\boldsymbol{Τ}_\lambda \cdot P^\boldsymbol{Τ}_{(k)}$ を、シフトされた分割を持つ一般化された $P$-関数の和として表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュールの $P$-および $Q$-関数は、多項式列 $\boldsymbol{Τ}$ を用いてどのように一般化可能であり、一般化されたシュール関数から何の性質を継承するか？
• RQ2 元のニムモ型定義を一般化する Pfaffian 公式は何か？ また、そのスケューおよび双対形への拡張はどのように行われるか？
• RQ3 一般化された $P$-関数に対してコーシー型恒等式を確立できるか？ また、双対 $P$-関数の生成関数とどのように関係するか？
• RQ4 一般化された $P$-関数と単一の行を持つ $P$-関数の積の構造は何か？ そして、古典的ピエリ則をどのように一般化するか？
• RQ5 イワノフの階乗 $P$-関数や古典的根系における $t=-1$ のハリ・リトルウッド関数といった特殊ケースは、この一般化枠組みのどのインスタンスとして現れるか？

主な発見

• 一般化された $P$-関数 $P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$ は、$A(\boldsymbol{x})$ と $V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$ を含む Pfaffian 公式により定義され、符号は $n + l$ の偶奇に依存する。
• コーシー型恒等式が確立された：$\sum_{\lambda} P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x}) Q^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{y}) = \widetilde{\Pi}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y}) \widetilde{\Delta}(\boldsymbol{x}) \widetilde{\Delta}(\boldsymbol{y})$ であり、$Q^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}$ は双対 $P$-関数である。
• スケュー一般化 $P$-関数のジョゼフィアク–プラガツ–ニムモの公式は、$P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda/\mu}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{\Delta(\boldsymbol{x})} \operatorname{Pf} \begin{pmatrix} A(\boldsymbol{x}) & V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda^{0}}(\boldsymbol{x}) \\ -{}^{t}\!V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda^{0}}(\boldsymbol{x}) & O \end{pmatrix}$ として一般化され、$\lambda^0$ はフロベニウス記法により定義される。
• ピエリ型則が証明された：$P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda} \cdot P^{\boldsymbol{Τ}}_{(k)} = \sum_{\mu \to \lambda \text{ via } k} P^{\boldsymbol{Τ}}_{\mu}$ であり、和は $\lambda$ にボックスを追加して得られる分割 $\mu$ に対して、一般化された構造と整合するものに制限される。
• 一般化された $P$-関数は、$f_d(u) = u^d$ のときシュール $P$-関数を回復し、$f_d(u) = (u|\boldsymbol{a})^d$ のときイワノフの階乗 $P$-関数を回復し、古典的根系における $t=-1$ のハリ・リトルウッド関数の特殊化を回復する。
• 証明に用いられた Pfaffian 恒等式は、Pfaffian 版のコーシー–バイネットの公式やラプラス展開を含む一連の補題によって検証されており、$\operatorname{Pf}\widetilde{A}(\boldsymbol{x})$ および $\operatorname{Pf}\begin{pmatrix}\widetilde{A}(\boldsymbol{x})&\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})\\ -{}^{t}\!\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})&-\widetilde{A}(\boldsymbol{y})\end{pmatrix}$ の明示的公式が与えられている。