[論文レビュー] A Generalization of Schur's Theorem

Jon Henry Sanders|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 15

ひとこと要約

本稿はシュールの定理を一般化し、任意の正の整数 $ t $ と $ n $ に対して、$ J(t,n) $ という数が存在することを証明している。この数 $ J(t,n) $ は、集合 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ の任意の $ t $ 色分けに対して、同じ色クラス内にすべての部分集合和を含む $ n $ 個の数（互いに異なるとは限らない）の列が存在することを保証する。証明は反復的なラマヌジャン的議論と、部分集合構造を符号付き和関数で符号化する独自の手法を用い、古典的な分割正則性をすべての有限部分集合和へと拡張する。

ABSTRACT

This paper is an excerpt from the author's 1968 PhD dissertation [Yale University, 1968] in which the (now) well-known result, commonly known as the Folkman-Rado-Sanders theorem, is proved. The proof uses (finite) alternating sums of integers and an 'iterated Ramsey theorem' in a way analogous to the proof of Schur's theorem using differences of integers and Ramsey's theorem for the coloring of the edges of a complete graph. The proof predates all others except J. Folkman, who based his proof on van der Waerden's theorem. The paper also contains the first published statement of the countable version of the theorem, which came to be misattributed to Graham and Rothschild, but predated their statement by three years.

研究の動機と目的

• $ a + b = c $ の単色解に関するシュールの古典的定理を、$ n $ 要素列のすべての有限部分集合和へ拡張すること。
• 任意の $ \mathbb{N} $ の有限色分けにおいて、$ n $ 個の数の $ 2^n - 1 $ 個の非空部分集合和すべてが同じ色クラス内にある分割正則性の存在を確立すること。
• 反復的ラマヌジャン理論を用いてシュール型結果の構造を高次元配置へ一般化すること。
• このような結果が無限列へ拡張可能かどうかを検討し、その一般化における障害を同定すること。

提案手法

• 集合 $ S $ の部分集合 $ B \subseteq S $ に対して、要素を昇順に並べた際の位置に基づき符号を交互に変更する符号付き和関数 $ f(B) $ を定義し、部分集合を $ S $ 内の整数へ写像する。
• この関数を用いて、$ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ の $ t $ 色分けを、その非空部分集合の色分けへ拡張し、ラマヌジャン的道具立ての適用を可能にする。
• Lemma 1 に従い、反復的ラマヌジャン定理を適用し、すべての $ r $ 部分集合が増加する $ r $ に対して所定の色クラス内にある大きな部分集合 $ K $ が保証される。
• スケーリングされた集合における帰納法の仮定を用いて、再帰的に $ a_1, \ldots, a_n $ の列を構成し、すべての部分集合和が単色のまま保たれることを保証する。
• 符号付き和関数の構造的性質と部分集合の和集合操作を用いて、異なる部分集合の組み合わせ間での単色性を維持する。
• 非一意な列を算術的等差数列の倍数へ還元する推論により、相異なる解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ \mathbb{N} $ の有限色分けは、すべての非空部分集合和が同じ色クラス内にある単色 $ n $ 重組を含むか？
• RQ2 古典的シュール定理は、$ a + b = c $ のみに限らず、$ n $ 重組の $ 2^n - 1 $ 個のすべての部分集合和へ拡張可能か？
• RQ3 任意の $ t $ 色分けが $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ に存在するような単色 $ n $ 重組を含む最小の数 $ J(t,n) $ は何か？
• RQ4 この結果の無限版は存在するか？すなわち、すべての有限部分集合和が単色であるような無限列が存在するか？
• RQ5 この定理の無限版が成立しない原因となる構造的障害は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての $ t, n \in \mathbb{N} $ に対して、$ J(t,n) $ が存在することを証明している。この数 $ J(t,n) $ は、集合 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ の任意の $ t $ 色分けに対して、すべての非空部分集合和が単色となるような $ a_1, \ldots, a_n $ の列が存在することを保証する。
• この列の存在は、$ n $ に関する帰納法を用い、$ N(k,r,t) $ を重要な関数とする反復的ラマヌジャン的構成により確立される。
• 補題により、単色列の要素 $ a_i $ は、スケーリングと $ J'(t,n) = J(t, n^4) $ を用いることで、互いに異なると仮定してもよいことが示される。
• 本稿は、部分集合を $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 内の整数へ写像する符号付き和関数 $ f(B) $ を構築し、べき集合上でのラマヌジャンの定理の適用を可能にした。
• 無限一般化（定理 $ 2' $）は一般には偽であることが示され、部分集合の属する関係に関する対角線的構成により反例が構成された。
• 反例は、特定の $ \mathcal{P}(\mathbb{N}) $ の 2 色分けのもとで、すべての有限部分集合和が固定された色に単色となるような無限列が存在しないことを示している。