[論文レビュー] A generalization of the Clifford index and determinantal equations for curves and their secant varieties

Adam Ginensky|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、曲線上の任意の非常に豊かな線分束に対してクラッフォード指数を一般化し、有効な被覆の上に支持されるシッファー変異を用いた新しい幾何的特徴付けを導入する。高次の線分束に対しては、曲線およびそのセカント多様体が、一般化されたクラッフォード指数が方程式の次数と構造を決定するセグレ型の行列式方程式によって定義されることを証明する。

ABSTRACT

This is the author's 2008 thesis from the University of Chicago. We generalize the notion of the Clifford index to an arbitrary very ample line bundle and show how it determines when a curve and its various secant varieties have determinantal equations. In particular we establish the scheme theoretic version of a conjecture of Eisenbud-Koh-Stillman. If $L_1$ and $L_2$ are line bundles of degree at least $2g+1+k$, then ${ m Sec}^j(C)$ is determinantally presented for $j \leq k$ and for $j \leq k+1$ if $L_1 eq L_2$. We also give a geometric characterization of the standard Clifford index in terms of which secant varieties of $C$ are determinantal in the bicanonical embedding. The relationship with Koszul cohomology and Green's conjecture is also discussed.

研究の動機と目的

• 代数的曲線上の任意の非常に豊かな線分束に対して、古典的クラッフォード指数を一般化すること。
• 無限小変形およびシッファー変異を用いて、一般化されたクラッフォード指数の幾何的特徴付けを提供すること。
• 射影埋め込みにおけるセカント多様体が行列式方程式によって定義される条件を確立すること。
• 一般化されたクラッフォード指数と $K_{p,2}^*$ における非自明なコーゴルンコhomology類の存在との関係を結ぶこと。
• 非常に豊かな $L_1, L_2$ に対して $|L_1 \otimes L_2|$ による埋め込みへの行列式方程式の結果を、特に $h^1(L) = 0$ または $1$ の場合に拡張すること。

提案手法

• 有効な被覆 $D$ の上に支持される一般化されたシッファー変異を導入し、古典的な点に依存する概念を拡張する。
• 任意の非常に豊かな線分束 $L$ に対して、古典的不変量を一般化する一般化クラッフォード指数 $\operatorname{Cliff}(C,L)$ を定義する。
• 因数分解 $L = L_1 \otimes L_2$ を用いて、曲線を $\operatorname{Hom}(H^0(L_1)^\vee, H^0(L_2))$ という行列空間に埋め込み、セグレ型の行列式方程式を導く。
• 幾何的リーマン・ロッホおよびコhomological技法を用いて、変形のランクとクラッフォード指数との関係を関係づける。
• ハッセットの基準を適用し、特定のランク $j$ の行列が境界にはなり得ないことを示し、コーゴルンコhomologyにおける非自明性を示す。
• 正規化の場合における $K_{p,2}^*$ と $K_{g-p-2,1}$ の双対性を用いて、結果をグリーンの予想と関連づけるが、この手法はより広範に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的クラッフォード指数を曲線上の任意の非常に豊かな線分束にどのように一般化できるか？
• RQ2 どの条件下で、$|L^{ imes 2}|$-埋め込みにおけるセカント多様体 $\operatorname{Sec}^k(C)$ が行列式方程式によって定義されるか？
• RQ3 被覆の上に支持されるシッファー変異が、一般化クラッフォード指数の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 $K_{p,2}^*$ における非自明なコーゴルンココホモロジー類の存在を、一般化クラッフォード指数と結びつけることができるか？
• RQ5 一般化クラッフォード指数は、双標準的埋め込みにおけるランク $\leq j$ の行列の集合 $R^j$ のスキーム的構造をどのように制御するか？

主な発見

• 非常に豊かな線分束 $L$ で $h^1(L) = 0$ の場合、$k < \operatorname{Cliff}(C,L)$ ならば、$|L^{ imes 2}|$-埋め込みにおいて曲線 $C$ 及びそのセカント多様体 $\operatorname{Sec}^k(C)$ は行列式方程式によって定義される。
• スキーム的等式 $\operatorname{Sec}^j(C) = R^{j+1} \cap \mathbb{P}(H^0(L^{ imes 2})^\vee)$ が $j < \operatorname{Cliff}(C) - 1$ のとき成り立つ。ここで $R^{j+1}$ はランク $\leq j+1$ の行列の集合である。
• 一般化クラッフォード指数 $\operatorname{Cliff}(C,L)$ は、$K_{p,2}^*$ における非自明なクラスの存在を制御する：$p < \operatorname{Cliff}(C,L)$ ならば、双対複体内の任意の分解可能要素は境界であるため、$K_{p,2}(C,L) = 0$ が成り立つ。
• $L = K_C(D)$ で $D$ が有効的かつ $\deg(D) < g$ の場合、この手法により $h^0(\mathcal{O}_C(D)) = 0$ であっても $K_{d-2,2}$ に非自明なクラスが得られる。これはグリーン＝ラザルスフェルドの構成の制限を回避する。
• 本結果により、大規模な次数の線分束について、アイゼンシュタイン、コーグ、スティルマンの予想が証明される：$k < \operatorname{Cliff}(C, L_1 \otimes L_2)$ ならば、$|L_1 \otimes L_2|$-埋め込みにおいて $\operatorname{Sec}^k(C)$ は行列式的である。
• 正規化の場合（$L = K_C$）において、本手法はグリーンの予想に対する新たな視点を提供し、$p < \operatorname{Cliff}(C)$ ならば $K_{p,2}(C,K_C) = 0$ が成り立つことを示すが、この手法では完全な予想は未解決のままである。